共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問5 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問5)

文章を読み進めていくと、「等式①、②、③の左辺を展開して比較することによりわかる。」

とあることから、左辺を展開し比較すると算出できると推測できます。

①の左辺を展開すると

ac-ad-bc+bd=4+4√3

②の左辺を展開すると

ab-ad-bc+cd=-3+√3

両辺を引き算すると

（ac-ad-bc+bd）-（ab-ad-bc+cd）=(4+4√3)-(-3+√3)

⇔ac-ab+bd-cd=7+3√3

⇔a(c-b)-d(c-b)=7+3√3

⇔(a-d)(c-b)=7+3√3

前問（キ）（ク）と問題文より、次の2式が成立します。
(a - b)(c - d) = 4 + 4√3
(a - c)(b - d) = -3 + √3

各式の左辺を展開すると、
ac - ad - bc + bd = 4 +4√3
ab - ad - bc + cd = -3 +√3
第１式の両辺から第2式の両辺を引くと、
ac - ab + bd - cd =7 + 3√3
⇔ (a - d)(c - b) = 7 + 3√3

ケ：4　コ：4 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（キ）（ク）

前問（オ）（カ）の考察より、
4 ≦ {(√3) - 1}(a - b)(c - d) ≦ 8
よって、 (√3) - 1 > 0 に注意して次式を得ます。
(a - b)(c - d) ≦ 8/{(√3) - 1)} 
この不等式の右辺を計算すると次のようになります。
8/{(√3) - 1)} =8(1 + √3)/[ {(√3) - 1} {(√3) + 1} ]
= 8(1 + √3)/2 = 4 + 4√3

前問（オ）（カ）（※前半部分のみ）

問題文にもあるように負の数で不等式の両辺を割る時の不等号の向きに注意します。
設問（ア）～（エ）より、問題文の不等式は次式になります。
-8 ≦ (1 - √3)(a - b)(c - d) ≦ -4 
この式の各辺に -1 を掛けると、
4 ≦ {(√3) - 1}(a - b)(c - d) ≦ 8 となり、
4/{(√3) - 1} ≦ (a - b)(c - d) ≦ 8/{(√3) - 1} と変形できます。

設問（ア）（イ）

x + 6 < 0 の時、
すなわち問題文の不等式の左辺が -x - 6 の時、
-x - 6 ≦ 2 ⇔ -8 ≦ x となります。

設問（ウ）（エ）

x + 6 > 0 の時、
すなわち問題文の不等式の左辺が x + 6 の時、
x + 6 ≦ 2 ⇔ x ≦ -4 となります。

まず（キ）と（ク）に当てはまる数がわからないと，この問題は解けません。

（キ）と（ク）の解き方についての詳細は，前の問題（問4）の解説を参考にしてください。
（キ）は 4，（ク）も 4 ですから，等式①は

となります。一方，③の左辺を展開すると

(a－d)(c－b)=ac－ab－cd＋bc

となり，これは（＊）の左辺に一致します。

したがって，

となりますから，（ケ）は 7，（コ）は 3 です