共通テスト（数学）過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問）問10)

問題文

（　タ　）／（　チ　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。

（2）半径が5である球Sがある。この球面上に3点P、Q、Rをとったとき、これらの3点を通る平面a上でPQ＝8、QR＝5、RP＝9であったとする。
球Sの球面上に点Tを三角錐（すい）TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を求めよう。

まず、cos∠QPR＝（　タ　）／（　チ　）であることから、ΔPQRの面積は
（　ツ　）√（　テト　）である。
次に、点Tから平面aに垂直な直線を引き、平面aとの交点をHとする。このとき、PH、QH、RHの長さについて、（　ナ　）が成り立つ。
以上より、三角錐TPQRの体積は（　ニヌ　）（√［　ネノ　］＋√［　ハ　］）である。

付箋

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レッド

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問題

共通テスト（数学）試験令和5年度（2023年度）本試験問10（数学Ⅰ・数学A（第1問）問10）（訂正依頼・報告はこちら）

3／5
3／4
4／5
5／6

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この過去問の解説（3件）

（※問題文と同じく、線分ABの長さをABと記述します。）
余弦定理より、
QR² = PQ² + RP² -2・PQ・RP・cos∠QPR
問題文より、
QR = 5
PQ = 8
RP = 9
よって、
25 = 64 + 81 - 2・8・9・cos∠QPR
cos∠QPR = 120/(2・8・9) = 15/18 = 5/6

「5/6」の選択肢が設問（タ）（チ）の解答となります。

選択肢4. 5／6

余弦を求める設問なので、
cos∠QPR = (PQ² + RP² - QR²)/(2・PQ・RP)
のように最初から計算する事も可能です。

まとめ

三角形の3辺の長さが問題文より分かっているので、
余弦定理を使用します。
対応する辺を間違えないように注意しましょう。
もし分かりにくければ図を描くとよいと思われます。