共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問16 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問3)

四分位範囲は、第3四分位数から第1四分位数を引いた値です。

第3四分位数と第1四分位数のいずれも、
本設問では特定の階級に含まれている事が分かるだけで具体的な値がなく、
選択肢も四分位範囲が撮り得る「範囲」を記述したものになっています。

第3四分位数が含まれる階級は設問（イ）より、
データの値（「支出金額」）の範囲が3000円から3400円までです。
第1四分位数が含まれる階級は設問（ア）より、
データの値（「支出金額」）の範囲が1800円から2200円までです。
つまり、四分位範囲は最大で、約 3400 - 1800 = 1600（円）であり、
最小で約 3000 - 2200 = 800（円）になります。

（ヒストグラムの階級について「a 以上 b 未満」と解釈しています。）

よって、
「800より大きく1600より小さい」が設問（ウ）の解答となります。

設問（ア）

データ（ここでは「支出金額」）の数は52（「市」の数）で、偶数です。
第1四分位数は「支出金額」を小さい順から並べた最初の26個のデータの中にあり、
さらにその26個のデータの中央値である「13番めと14番めのデータの平均」です。

 

そのデータが含まれる階級を探します。
最も小さい階級（1000以上1400未満）から小さい順に階級とデータ数を整理します。
1つめの階級　データ数（「市の数」）: 2
2つめの階級　データ数（「市の数」）: 7
3つめの階級　データ数（「市の数」）: 11
この時点でデータ数の合計が20になるので、これより後の階級に第1四分位数は含まれません。
3つめの階級は小さいほうから10 ～ 20番めまでのデータが含まれているで、
第1四分位数は3つめの階級である「1800以上2200未満」に含まれていると分かります。

設問（イ）

データ数は全体で52（「市の数」）であり、偶数です。
第3四分位数は全データを小さい順から並べ、
全体を2分割した26個のうち大きいほうの中のデータ（「支出金額」）の中央値です。

すなわちデータの値を大きいものから順に並べ、
大きいほうから数えて13番めと14番めのデータの平均値が第3四分位数です。

最も大きい階級（4600以上5000未満）から数えて、データ数を整理します。
1つめの階級　データ数（「市の数」）: 1
2つめの階級　データ数（「市の数」）: 1
3つめの階級　データ数（「市の数」）: 0
4つめの階級　データ数（「市の数」）: 5
5つめの階級　データ数（「市の数」）: 8
この時点でデータの数が 15 になるので、
これよりも小さいデータの階級には第3四分位数は含まれていない事になります。
5つめの階級には大きい順から並べて8番め以上15番め以下のデータが入っているので、
5つめの階級「3000以上3400未満」に第3四分位数が含まれています。

四分位範囲＝第3四分位数－第1四分位数

です。

問14 と問15 の解説で第1四分位数，第3四分位数が

含まれる階級をそれぞれ求めています。

（問14 の解説より）

この問題ではデータの大きさが 52 ですから，

52 個の数値を小さい順に並べたとき，

中央値は小さい方から 26 番目と 27 番目の値の平均値です。

 

このような並びになります↓

[1 番目～ 26 番目 ] ，（ Q₂ ）， [27 番目～ 52 番目 ]

 

次に Q₂ より小さい値，すなわち [1 番目～ 26 番目 ] で

中央値を考えると， 13 番目と 14 番目の値の平均値です。

これが第 1 四分位数 Q₁ です。

図 1 のヒストグラムから，

「 1400 以上 1800 未満」の階級までの累積度数が 9 ，

「 1800 以上 2200 未満」の階級までの累積度数が 20

であることがわかります。よって，

「 1800 以上 2200 未満」の階級には，小さい方から

10 番目から20番目までの数値があるということになるので，

小さい方から 13 番目と 14 番目の値は，

両方ともこの階級にあることがわかります。

したがって，それらの平均値である第 1 四分位数も，

この階級にあります。

（問15 の解説より）

第 3 四分位数を考えるために，中央値より大きい値，

すなわち小さい方から27 番目から 52 番目までの値で，

その中央値を考えます。

こちらは小さい方からではなく大きい方から数え直した方が

わかりやすくなりますので，数え直すと，

大きい方から 1 番目から 26 番目までの値で，その中央値は

大きい方から 13 番目と 14 番目の値の平均値です。

これが第 3 四分位数です。

図 1 のヒストグラムから，

3400 以上の数値が 7 個，

3000 以上の数値は 15個ありますから，

「3000 以上 3400 未満」の階級には，

（大きい方から数えて） 8 番目から 15 番目までの

数値があることがわかります。よって，

大きい方から 13 番目と 14 番目の値は，両方とも

この「3000 以上 3400 未満」の階級にあります。

したがって，それらの平均値である第 3 四分位数も，

この階級にあります。

以上のことから，第1四分位数Q₁，第3四分位数Q₃について

1800≦Q₁<2200　かつ　3000≦Q₃<3400

であることがわかります。よって，

Q_3―Q₁≧3000－Q₁>3000－2200

すなわち　Q_3―Q₁≧800……①

また，

Q_3―Q₁<3400－Q₁≦3400－1800

すなわち　Q_3―Q₁<1600……②

が成り立つので，①，②より

800<Q_3―Q₁<1600

すなわち，四分位範囲は 800 より大きく 1600 より小さい

第１四分位数と第３四分位数、四分位範囲の定義から該当する値を読み取る問題です。