共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問20 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問7)
問題文
（ キ ）、（ ク ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問20（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（ キ ）、（ ク ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
- キ：2 ク：3
- キ：3 ク：3
- キ：4 ク：3
- キ：5 ク：3
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
問題文の「＜仮定＞」以下の」文章に、
「ボールがリングや・・・」の後で点M(4, 3)の記述があり、
「プロ選手が・・・」の後で点P0(0, 3)の記述があります。
さらにその後に、放物線C1 はP0とMを通ると記述があります。
P0の座標から、x = 0 をC1の式に代入する事によって、
まず（ク）が 3 である事が分かります。
次に、P0とMのy座標が同じである事に着目すると、
(「P0のx座標」＋「Mのx座標」)/2 = 「頂点のx座標」です。
よって (0+4)/2 = 2 となり、
頂点のx座標は 2 である事が分かります。
（キ）の値を b とすると、
ax2 - abx + 3 = a(x - b/2)2 - ab2/4 + 3 と表せる事から、
頂点のx座標は b/2 でもあります。
したがって、b/2 = 2 ⇔ b = 4 で、これが（キ）の値です。
キ：4 ク：3 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
（キ）の値を b 、(ク)の値をcとすると、
C1: y = ax2 - abx + c において、
P0(0, 3) のx座標とy座標を代入して、
3 = 0 + 0 + c
⇔ c = 3 を得ます。
同様にして M(4, 3) の座標の値を代入しても結果を得られます。
（その場合、3 = 16a - 4ab + 3 ⇔ 16a = 4ab ⇔ b = 4 です。）
上記解説では2次関数のy座標が等しい2点の中点のx座標は、
頂点のx座標に等しくなる事を使いました。
P0とMの座標から、頂点のx座標は (0 + 4)/2 = 2
C1の式から、y = a(x - b/2)2 - ab2/4 + 3
よって、2 = b/2 から b= 4 としました。
まず問題文が長く、状況を把握しにくいです。
計算に必要な情報を的確に把握しましょう。
本設問では「放物線C1」の情報が必要になります。
すると、放物線が通る2点の座標が記されているので、それを使って計算ができます。
a の値が不明の状態でその他の係数が求まるのか疑問に感じるかもしれませんが、
本設問では a が未知の状態のまま、設問で求められている値を計算できます。
「2次関数のy座標が等しい2点の中点のx座標は頂点のx座標に等しくなる事」については、式で示すと次のようになります。
共通するy座標の値がy0 であるとして、
y0 =Ax2 + Bx + C とすると y0 - C + B2/(4A) = A{x + B/(2A)}2
実数解を持つとすると、±√[ {y0 - C + B2/(4A) }/A ] - B/(2A) = x
2つの解 x1, x2 を足し合わせて2で割ると、
(x1 + x2)/2 = -B/(2A) となります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
放物線C1の方程式を
y=ax2+bx+c……①
とおきます。C1は2点P0(0,3)，M(4,3) を通るので，
それぞれ座標を①に代入すると
3=c かつ 3=16a+4b+c
よって 16a+4b+3=3
すなわち，b=－4a
したがって，放物線C1の方程式は
y=ax2-4ax+3
正解です。
問題文が長くて結構大変ですが，
この問題は放物線C1についてなので，
C1についての条件だけに集中して
考えましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
二次関数の一般式から、通る点を代入して式を求める問題です。
C1はP0(0,3), M(4,3)を通るので、二次関数の一般式 y = ax2+bx+c に代入して
3 = c
3 = 16a+4b+3
b = -4a
となります。
したがって、y = ax2-4ax+3
参考になった数0
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