大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問21 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問8)
問題文
（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問21（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
- ケ：2 コ：3
- ケ：3 コ：2
- ケ：3 コ：4
- ケ：4 コ：3
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
前の問題（問20）で，放物線C1の方程式を
aを用いて表しています。
問題文の「仮定」の最後の項目から，
プロ選手の「シュートの高さ」＝放物線C1の頂点のy座標
であることがわかります。
放物線C1の方程式をさらに変形して，
y=a(x2-4x)+3
y=a{(x-2)2-4}+3
y=a(x-2)2-4a+3
よって，放物線C1の頂点の座標は(2,-4a+3)
したがって，プロ選手の「シュートの高さ」は
-4a+3
正解です。
問題の文章や仮定の項目が多くて戸惑うかもしれませんが，
「シュートの高さ」の項目さえ見つければ，
前問（問20）の結果を利用して解くことができます。
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02
平方完成から、グラフの頂点を求める問題です。
前問の式を平方完成して
y = a(x-2)2-4a+3
より、答えは頂点である -4a+3
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