共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問21 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問8)

問題文の＜仮定＞の終わり部分の近くの記述により、
「プロ選手の『シュートの高さ』」は放物線C₁の「頂点のy座標」です。

放物線は上に凸（とつ）の2次関数である事に注意しましょう。

設問（キ）の考察よりC₁の頂点の x 座標は 2 であり、

C₁の式は y = ax² -4ax + 3 なので、

x = 2 をC₁の式に代入すると、
y = a・4 - 4a・2 + 3 = -4a + 3

本設問は「 -（ケ）a + （コ）」の形になっているので、
ケ：4　コ：3　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（キ）（ク）

P₀の座標から、x = 0 をC₁の式に代入する事によって、
まず（ク）が 3 である事が分かります。

 

次に、P₀とMのy座標が同じである事に着目すると、
(「P₀のx座標」＋「Mのx座標」)/2 = 「頂点のx座標」です。
よって (0+4)/2 = 2 となり、
頂点のx座標は 2 である事が分かります。

 

（キ）の値を b とすると、
ax² - abx + 3 = a(x - b/2)² - ab²/4 + 3 と表せる事から、
頂点のx座標は b/2 でもあります。
したがって、b/2 = 2 ⇔ b = 4 で、これが（キ）の値です。

前の問題（問20）で，放物線C₁の方程式を

aを用いて表しています。

放物線C₁の方程式を

y=ax²+bx+c……①

とおきます。C₁は2点P₀(0,3)，M(4,3) を通るので，

それぞれ座標を①に代入すると

3=c　かつ　3=16a+4b+c

よって　16a+4b+3=3

すなわち，b=－4a

したがって，放物線C₁の方程式は

y=ax²-4ax+3

問題文の「仮定」の最後の項目から，

プロ選手の「シュートの高さ」＝放物線C₁の頂点のy座標

であることがわかります。

放物線C₁の方程式をさらに変形して，

y=a(x²-4x)+3

y=a{(x-2)²-4}+3

y=a(x-2)²-4a+3

よって，放物線C₁の頂点の座標は(2,-4a+3)

したがって，プロ選手の「シュートの高さ」は

-4a+3

平方完成から、グラフの頂点を求める問題です。