共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問22 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問9)

設問（キ）から放物線C₁の頂点のx座標は 2 であり、
問題文から、放物線C₂の頂点のx座標は 2 -  1/(8p) です。

ここで、 p はC₂の x² の係数でもある事に注意すると、
C₂ は「上に凸（とつ）」の放物線なので、
p < 0
よって、常に 2 -  1/(8p) > 2 となり、
C₂の頂点のx座標のほうがMのx座標に近い事になります。

問題文ではC₂が「花子さん」の放物線であり、
「ボールが最も高くなるときの地上の位置」が放物線の頂点のx座標の事なので、
「花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、つねにMのx座標に近い。」の選択肢が設問（サ）の解答となります。

設問（キ）（ク）

P₀の座標から、x = 0 をC₁の式に代入する事によって、
まず（ク）が 3 である事が分かります。

 

次に、P₀とMのy座標が同じである事に着目すると、
(「P₀のx座標」＋「Mのx座標」)/2 = 「頂点のx座標」です。
よって (0+4)/2 = 2 となり、
頂点のx座標は 2 である事が分かります。

 

（キ）の値を b とすると、
ax² - abx + 3 = a(x - b/2)² - ab²/4 +3 と表せる事から、
頂点のx座標は b/2 でもあります。
したがって、b/2 = 2 ⇔ b = 4 で、これが（キ）の値です。

問題にある「仮定」の最後の項目から，

プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は，

それぞれ放物線C₁，C₂の頂点のx座標です。

前の問題（問21）で，放物線C₁の頂点の座標を求めています。

前の問題（問20）で，放物線C₁の方程式を

aを用いて表しています。

 

<blockquote>

放物線C₁の方程式を

y=ax²+bx+c……①

とおきます。C₁は2点P₀(0,3)，M(4,3) を通るので，

それぞれ座標を①に代入すると

3=c　かつ　3=16a+4b+c

よって　16a+4b+3=3

すなわち，b=－4a

したがって，放物線C₁の方程式は

y=ax²-4ax+3

問題文の「仮定」の最後の項目から，

プロ選手の「シュートの高さ」＝放物線C₁の頂点のy座標

であることがわかります。

放物線C₁の方程式をさらに変形して，

y=a(x²-4x)+3

y=a{(x-2)²-4}+3

y=a(x-2)²-4a+3

よって，放物線C₁の頂点の座標は(2,-4a+3)

放物線C₁の頂点のx座標は2，すなわち，

プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は2で，

Mのx座標は4ですから，その差は2です。

一方，与えられたC₂の方程式より，

以上のことから，

花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、つねにMのx座標に近い。

が正解となります。

ボールが最も高くなる位置、つまり軸の位置を比較すれば良いです。

aもpも負の値であることに注意します。