共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問23 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問10)
問題文
（ シ ）、（ ス ）、（ セソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問23（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
（ シ ）、（ ス ）、（ セソ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
- シ：3 ス：2 セソ：50
- シ：4 ス：2 セソ：53
- シ：5 ス：3 セソ：57
- シ：5 ス：3 セソ：60
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
問題文の図からDのx座標は 3.8 = 38/10 = 19/5 です。
問題文より AD =(√3)/15 であり、
A のy座標はMのy座標に等しく 3 なので、
Dの座標は (19/5, (√3)/15 + 3) です。
問題文より放物線C1はDを通るので、
Dの座標の値をC1の式に代入します。
設問（キ）（ク）よりC1の式は、
y = ax2 -4ax + 3 なので、
(√3)/15 + 3 = a(19/5)2 -4a(19/5) +3
⇔(√3)/15 = a(361 - 380)/25
⇔ a = -{5 (√3)/3}/19
⇔ a = -5(√3)/57
本設問の空欄は −［ シ ］√［ ス ］/［ セソ ］という形なので、
シ：5 ス：3 セソ：57 の組み合わせの選択肢が解答となります。
設問（キ）（ク）
3.8 という小数のままでは計算しにくいので、分数に直します。
192=361 の計算が少し面倒ですが、落ち着いて計算すれば結果の値を得れます。
図が複雑ですが、放物線C1がDを通るという事を問題文から読み取ると、
Dの座標をC1の式に代入して a の値を求める設問であると分かります。
設問の空欄や選択肢の値を見て予測できる通り、あまりきれいな形の結果にはなりません。
式の変形の仕方は1通りではないので、
自分で間違いが少なくなると感じる方法を選びましょう。
上記解説ではC1の式 y = ax2 - 4ax + 3 に、
x = 19/5 と y =(√3)/15 + 3 を直接代入しました。
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02
問20で求めたように，放物線C1の方程式は
y＝ax2−4ax＋3
と表すことができます。
問21でこの方程式を変形して，
y＝a(x2−4x)＋3……①
とし，平方完成すると
y＝a(x-2)2−4a＋3……②
となりました。
正解です。
ADの長さが問題文中に与えられていますので，
読み落とすことのないよう，落ち着いて読みましょう。
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03
与えられた数値を、点を整理して代入する問題です。計算が少し煩雑です。
AD=√3/15であることから、D(3.8, 3+√3/15) = D(19/5, 3+√3/15)であることがわかります。
C1の式に代入して、
3+√3/15 = a(19/5-2)2-4a+3
19a/25 = -√3/15
a = -5√3/57
したがって、
y = -5√3/57(x2-4x)+3
参考になった数0
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