共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問24 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問11)
問題文
（ タ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問24（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問11） （訂正依頼・報告はこちら）
（ タ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。
＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P0（0，3）にあるものとする。また、P0，Mを通る、上に凸の放物線をC1とし、PはC1上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H0（0，2）にあるものとする。また、H0，Mを通る、上に凸の放物線をC2とし、HはC2上を動くものとする。
・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
（1）放物線C1の方程式におけるx2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y＝ax2−（ キ ）ax＋（ ク ）
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
—（ ケ ）a＋（ コ ）
である。
プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（ サ ）である。
（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。
太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C1がDを通るとき、C1の方程式は
y＝−［ シ ］√［ ス ］／［ セソ ］（x2−［ キ ］x）＋［ ク ］
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、（1）で与えられたC2の方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（ タ ）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（ チ ）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。
- プロ選手
- 花子さん
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
設問（キ）（ク）（または設問（ケ）（コ））により、
放物線C1の頂点のy座標は -4a + 3 です。
前問（シ）～（ソ）の結果より
a = -5(√3)/57 であるので、
-4a + 3 = 20(√3)/57 +3 ≒ 34.64/57 + 3
=3.607・・・
他方、放物線C2の頂点のy座標は、
問題文によると「約3.4」と記されています。
また、本設問は問題文より、
「「シュートの高さ」を比べると、（タ）の「シュートの高さ」のほうが大きく」となっており、
同じく問題文より「放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」」としています。
3.607・・・ > 3.4 なので、
放物線の頂点のy座標はC1のほうがC2よりも大きく、
問題文ではC1が「プロ選手」でC2が「花子さん」なので、
「プロ選手」の選択肢が設問（タ）の解答となります。
設問（キ）（ク）
設問（ケ）（コ）
前問（シ）～（ソ）
20・(√3) ≒ 20・(1.732) = 34.62 として、その値を57 で割ります。
上記解説の途中計算で +3 の項を式に残しているのは、
問題文からC2の頂点のy座標が「約3.4」と記述されているためです。
34.64/57 の計算は一見面倒ですが、
割り算において 57・6 = 342 の計算は比較的容易かと思われます。
その時点で計算結果が「約3.6」まで分かります。
問題文の概要は非常に把握しづらいですが、
本設問の内容自体は、
「前問で得られた a の値を頂点のy座標の式に代入して計算し、『約3.4』と値の大小を比較する」というものです。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
問21で求めたように，プロ選手の「シュートの高さ」は
-4a+3……①
であり，また問23で求めたように，
放物線C1がDを通るときのaの値は
一方，放物線C2がDを通るとき，
花子さんの「シュートの高さ」は約3.4ですから，比べると，
プロ選手の「シュートの高さ」のほうが大きいことがわかります。
正解です。
問題文をよく読んで利用できる数値を把握し，
ケアレスミスをしないように代入計算をしましょう。
参考になった数0
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03
与えられた条件から頂点の座標を比べる問題です。
プロの放物線について、頂点のy座標は-4a+3です。前問のaを代入して
-4a+3 = -4×(-5√3/57)+3 = 20√3/57+3
ここで√3 = 1.73...の近似値を用いると
20√3/57+3 = 3.6...
これは花子さんの3.4よりも大きいため、プロ選手の方が高さが大きいです。
参考になった数0
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