共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問25 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問12)

問題文によると本設問（チ）は、
「放物線C₁とC₂がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（　タ　）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（　チ　）である。」となっています。

問題文によると、「ボール」の直径は 0.2 です。
前問（タ）の結果より、
「シュートの高さ」（頂点のy座標）の差は、
約3.6 - 約3.4 = 約0.2 です。

よって、
「約1個分」の選択肢が設問（チ）の解答となります。

前問（タ）

設問（キ）（ク）（または設問（ケ）（コ））により、
放物線C₁の頂点のy座標は -4a + 3 です。
前問（シ）～（ソ）の結果より
a = -5(√3)/57 であるので、
-4a + 3 = 20(√3)/57 +3 ≒ 34.64/57 + 3 
=3.607・・・

 

他方、放物線C₂の頂点のy座標は、
問題文によると「約3.4」と記されています。
また、本設問は問題文より、
「「シュートの高さ」を比べると、（タ）の「シュートの高さ」のほうが大きく」となっており、
同じく問題文より「放物線C₁やC₂に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」」としています。

 

3.607・・・ > 3.4 なので、
放物線の頂点のy座標はC₁のほうがC₂よりも大きく、
問題文ではC₁が「プロ選手」でC₂が「花子さん」なので、
「プロ選手」の選択肢が設問（タ）の解答となります。
 

設問（キ）（ク）

P₀の座標から、x = 0 をC₁の式に代入する事によって、
まず（ク）が 3 である事が分かります。

 

次に、P₀とMのy座標が同じである事に着目すると、
(「P₀のx座標」＋「Mのx座標」)/2 = 「頂点のx座標」です。
よって (0+4)/2 = 2 となり、
頂点のx座標は 2 である事が分かります。

 

（キ）の値を b とすると、
ax² - abx + 3 = a(x - b/2)² - ab²/4 +3 と表せる事から、
頂点のx座標は b/2 でもあります。
したがって、b/2 = 2 ⇔ b = 4 で、これが（キ）の値です。

設問（ケ）（コ）

設問（キ）の考察よりC₁の頂点の x 座標は 2 であり、

C₁の式は y = ax² -4ax + 3 なので、

x = 2 をC₁の式に代入すると、
y = a・4 - 4a・2 + 3 = -4a + 3

前問（シ）～（ソ）

問題文の図からDのx座標は 3.8 = 38/10 = 19/5 です。
問題文より AD =(√3)/15 であり、
A のy座標はMのy座標に等しく 3 なので、
Dの座標は (19/5, (√3)/15 + 3) です。

 

問題文より放物線C₁はDを通るので、
Dの座標の値をC₁の式に代入します。
設問（キ）（ク）よりC₁の式は、
y = ax² -4ax + 3 なので、
(√3)/15 + 3 = a(19/5)² -4a(19/5) +3
⇔(√3)/15 = a(361 - 380)/25
⇔ a = -{5 (√3)/3}/19
⇔ a = -5(√3)/57

問24で，放物線C₁がDを通るときの

プロ選手の「シュートの高さ」を求めました。

問21で求めたように，プロ選手の「シュートの高さ」は

-4a+3……①

であり，また問23で求めたように，

放物線C₁がDを通るときのaの値は

放物線C₁とC₂がDを通るときのプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」は，

それぞれ約3.6，約3.4ですから，その差は

3.6-3.4=0.2

より約0.2となります。

「平面上では、ボールを直径0.2の円とする。」

という仮定がありますから，この差はボール約1個分です。

前問の計算結果をそのまま使えば良いです。ボール一個分が0.2であることに注目します。