共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問31 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問6)

「球」には番号がふってあり、
問題文の例を読むと「色」を塗っても番号は維持され、それぞれ区別されると判断できます。

「図F」で、番号「3」「4」をつなげると「図D」の場合になります。
ただし、その時に「3」「4」が同じ色であってはいけません。
そのため、設問（コ）の場合は除外する必要があります。

「図F」で起こり得る全ての場合の数は問題文にもあるように設問（アイウ）の場合に等しいので320通りです。
そこから、設問（コ）の場合の数である60通りを引きます。

「図D」で起こり得る場合の数は、320 - 60 = 260 通り です。

「260」の選択肢が設問（サシス）の解答となります。

設問（アイウ）

5色のうち同じ色が隣り合ってはいけないけれども、
同じ色をくり返し使ってよいとされているので、例えば、
「赤青赤青黄」のような塗り方はよい事になります。
「赤赤赤青黄」のような塗り方は禁止になります。

左から順に塗っていくとして、
「最初の５色」「最初以外の４色」「２番め以外の４色」・・・
のように塗られていく事を意味します。
すると塗り方の場合の数は、
5・4・4・４・4 = 5・64 = 320 通りあります。

設問（コ）

問題文の条件より、
「図F」において、同色の番号「3」「4」の塗り方が5通り、
次に「１」の塗り方が既に使った色を除いて4通り、
最後に「2」の塗り方が既に使った2色を除いて3通りです。

 

よって、起こり得る場合の数は 5・4・3 = 60 通りなので、
設問（エオ）の場合の数と同じです。

設問（エオ）

塗り方の数は次のようになります。
「1」の球から塗り始めるとして、最初が5通りです。
「2」の球を次に塗るとして、そこでは最初と異なる色の4通りです。
「3」の球を最後に塗るとして、そこでは「1」「2」と異なる色である必要があるので3通りです。
よって、起こり得る場合の数は 5・4・3 = 60 通りです。

問26で（　アイウ　）にあてはまるものは320であることを求めました。

図Aの例と同様に考えます。

球1の塗り方が5通りあり，

球1を塗った後，球2の塗り方は4通りあり，

さらに球3の塗り方は4通り，

その後さらに球4の塗り方も4通りあります。

したがって、球の塗り方の総数は

5×4³=320（通り）

したがって，図Fにおける球の塗り方の総数は320通りです。

また，前の問題（問30）で，320通りのうち球3と球4が同色になる球の塗り方の総数と一致する図は

であることを求めました。これは図Cと同じで，

塗り方が60通りあることを問27で求めています。

球1から順に塗り方の数を考えていくと，

球1の塗り方が5通りあり，球1を塗った後，

球2の塗り方は4通りあります。

最後に球3は，球1・球2のどちらとも

異なる色で塗らなければならないので，

球3の塗り方は3通りあります。

したがって，球の塗り方の総数は

5×4×3=60（通り）

図Fにおいて球3と球4が異なる色である場合，

球3と球4を1本のひもでつないで図Dにすることができます。

よって，図Dにおける球の塗り方の総数は，

「図Fにおける球の塗り方の総数」から，

「図Fにおいて球3と球4が同色になる球の塗り方の総数」を引いたものとなります。

したがって，求める球の塗り方の総数は

320-60=260（通り）

これは簡単な場合と特殊な場合を考えて、それを引くという方針で答えを導き出します。前問の誘導にうまく乗りましょう。