共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問32 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7)

「球」には番号がふってあり、
問題文の例を読むと「色」を塗っても番号は維持され、それぞれ区別されると判断できます。

ここでは、前問（サシス）と似た方法を試してみましょう。

番号「1」と「5」の連結を切断した場合を考えます。
起こり得る場合の数は、設問（アイウ）同様に考えて、
5・44 = 1280 通りです。

その中で「1」と「5」が同じ色の場合の数は、
ここでは塗り方を「1」「5」「3」「2」「4」の順に考えます。
「３」は中間に位置しています。

「3」が「1」「5」と同じ色か、異なる色かで場合分けすると、
5・1・4・4 + 5・4・3・3 = 80 + 180 = 260 通りの塗り方がある事が分かります。

よって、
1280 - 260 = 1020 通りが「図G」の塗り方の場合の数になります。

「1020」の選択肢が設問（セソタチ）の解答となります。

前問（サシス）

「図F」で、番号「3」「4」をつなげると「図D」の場合になります。
ただし、その時に「3」「4」が同じ色であってはいけません。
そのため、設問（コ）の場合は除外する必要があります。

 

「図F」で起こり得る全ての場合の数は問題文にもあるように設問（アイウ）の場合に等しいので320通りです。
そこから、設問（コ）の場合の数である60通りを引きます。

「図D」で起こり得る場合の数は、320 - 60 = 260 通り です。

設問（アイウ）

5色のうち同じ色が隣り合ってはいけないけれども、
同じ色をくり返し使ってよいとされているので、例えば、
「赤青赤青黄」のような塗り方はよい事になります。
「赤赤赤青黄」のような塗り方は禁止になります。

左から順に塗っていくとして、
「最初の５色」「最初以外の４色」「２番め以外の４色」・・・
のように塗られていく事を意味します。
すると塗り方の場合の数は、
5・4・4・４・4 = 5・64 = 320 通りあります。

設問（コ）

問題文の条件より、
「図F」において、同色の番号「3」「4」の塗り方が5通り、
次に「１」の塗り方が既に使った色を除いて4通り、
最後に「2」の塗り方が既に使った2色を除いて3通りです。

 

よって、起こり得る場合の数は 5・4・3 = 60 通りなので、
設問（エオ）の場合の数と同じです。

設問（エオ）

塗り方の数は次のようになります。
「1」の球から塗り始めるとして、最初が5通りです。
「2」の球を次に塗るとして、そこでは最初と異なる色の4通りです。
「3」の球を最後に塗るとして、そこでは「1」「2」と異なる色である必要があるので3通りです。
よって、起こり得る場合の数は 5・4・3 = 60 通りです。

前の問題（問31）の考え方を参考にして，

図Gと図Hを比較することで解いていきます。

図Hでは球4と球5が同色になる球の塗り方が可能であるため，

図Gよりも図Hの球の塗り方の総数の方が大きくなります。

図Hにおける球の塗り方の総数は，図Aの例と同様に考えます。

球5の塗り方が5通りあり，

球5を塗った後，球1の塗り方は4通りあり，

さらに球2の塗り方は4通り，……

と考えていくと，球3，球4の塗り方もそれぞれ4通りずつとなりますから，

5×4⁴=1280（通り）

この1280通りのうち球4と球5が同色になる球の塗り方の総数を，

問30を参考にして考えます。

図Hにおいて，球1と球5は1本のひもでつながれているので，

球4と球5が同色になる球の塗り方をしたとき，

球1は球4・球5と異なる色で塗らなければなりません。

よって，このとき図Hにひもを1本追加して，

球1と球4を1本のひもでつなぐことができます。

これは，図Dに球4と同じ色の球5を追加して，

球1と1本のひもでつないだのと同じ状態です。

図Dの球の塗り方の総数は，問31で求めたように，260通りです。

よって，図Hにおいて球4と球5が同色になる球の塗り方の総数も，260通りです。

図Gにおける球の塗り方の総数は，

「図Hにおける球の塗り方の総数」から，

「図Hにおいて球4と球5が同色になる球の塗り方の総数」を引いたものとなります。

したがって，求める球の塗り方の総数は

1280-260=1020（通り）

前問の方針になぞって解答しましょう。

直線型で考えて、その後繋がる部分で同色の場合を除外してやります。