大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問32 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7)

前の問題（問31）の考え方を参考にして，

図Gと図Hを比較することで解いていきます。

図Hでは球4と球5が同色になる球の塗り方が可能であるため，

図Gよりも図Hの球の塗り方の総数の方が大きくなります。

図Hにおける球の塗り方の総数は，図Aの例と同様に考えます。

球5の塗り方が5通りあり，

球5を塗った後，球1の塗り方は4通りあり，

さらに球2の塗り方は4通り，……

と考えていくと，球3，球4の塗り方もそれぞれ4通りずつとなりますから，

5×4⁴=1280（通り）

この1280通りのうち球4と球5が同色になる球の塗り方の総数を，

問30を参考にして考えます。

図Hにおいて，球1と球5は1本のひもでつながれているので，

球4と球5が同色になる球の塗り方をしたとき，

球1は球4・球5と異なる色で塗らなければなりません。

よって，このとき図Hにひもを1本追加して，

球1と球4を1本のひもでつなぐことができます。

これは，図Dに球4と同じ色の球5を追加して，

球1と1本のひもでつないだのと同じ状態です。

図Dの球の塗り方の総数は，問31で求めたように，260通りです。

よって，図Hにおいて球4と球5が同色になる球の塗り方の総数も，260通りです。

図Gにおける球の塗り方の総数は，

「図Hにおける球の塗り方の総数」から，

「図Hにおいて球4と球5が同色になる球の塗り方の総数」を引いたものとなります。

したがって，求める球の塗り方の総数は

1280-260=1020（通り）

前問の方針になぞって解答しましょう。

直線型で考えて、その後繋がる部分で同色の場合を除外してやります。