共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問34 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2)
問題文
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分（じゅうぶん）あるものとする。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（ ウエオカ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（ ウエオカ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問34（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分（じゅうぶん）あるものとする。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（ ウエオカ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（ ウエオカ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- 2110
- 2210
- 2310
- 2410
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残念...
この過去問の解説 （3件）
01
前問（アイ）より 462 の約数に 11 が含まれている事が分かります。
462 = 11・42 と計算し、110 = 11・10 に注意すると、
42 に特定の自然数を掛けて 10 の倍数にすれば、長方形を並べて正方形を作れます。
42・5 = 210 である事から 462・5 = 2310 = 110・ 21 となり、
問題文の長方形を横に 5 個、縦に 21 個並べると正方形になります。
横に並べる数は 5 より小さくできないので、
横に 5 個並べるときに正方形の辺の長さは最小となります。
求めるのは正方形の辺の長さなので、
「2310」の選択肢が設問（ウエオカ）の解答となります。
前問（アイ）
状況を整理すると、次のようになります。
462 = 11・42
110 = 11・10
42・5 = 210（これは10の倍数です。）
462・5 = 2310 であり、
110・ 21 = 2310 でもあります。
462に掛ける自然数が5未満であると10の倍数にできないので、正方形を作れません。
そのため、 462・5 = 2310 が正方形の最小の辺の長さになります。
少しややこしい設問かもしれませんが、
問題文にもある通り、約数に着目すると比較的簡単な計算で結果の値を求められます。
本設問の計算の仕方は1通りではありません。
自分で分かりやすいと感じる方法を選びましょう。
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02
赤い長方形を並べて作ることができる長方形は，縦の長さが110の倍数，かつ横の長さが462の倍数になります。
正方形を作るには，縦横の長さを等しくする必要がありますから，赤い長方形を並べて作ることができる正方形の一辺の長さは110と462の公倍数になります。
したがって，その中で辺の長さが最小であるものは，一辺の長さが110と462の最小公倍数であればよいことになります。
前の問題（問33）の解説で示した素因数分解より
ですから，110と462の最小公倍数は
2×3×5×7×11＝2310
すなわち，求める一辺の長さは
2310
正解です。
整数の性質の分野の問題では，長方形を並べる問題はよくあります。
問題集などでしっかり練習しておきましょう。
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03
最小公倍数を考えればいい問題です。
462=2×3×7×11、110=2×5×11です。
よって最小公倍数は2×3×5×7×11=2310となります。
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