共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問80 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問2)

無作為に抽出したときに平均（本設問ではm）以上となる確率は、
標準正規分布では「グラフの中央から右半分と、変数の軸で囲まれる部分の面積」です。

問題文で参照してよい「正規分布表」に描いてあるグラフで言うと、
z軸の O から右半分の、グラフとz軸とy軸で囲まれる部分の面積です。

標準正規分布の場合も含めて、正規曲線はグラフ全体と変数の軸で囲まれる面積は 1 であり、
グラフは平均値（標準正規分布では 0）を境にして左右対称です。
本設問では、X が「平均 m」 以上になる確率が問われています。
X がm 以上になる確率は、m が平均であるため、
確率全体の半分である 1/2 となります。

イ：1　ウ：2　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

正規分布N（m、σ2）をZ=（X-m）/σでN（0、1）へ標準化します。
P(X ≥ m)=P((X-m)≥ (m-m)）

              =P((X-m)/σ ≥ (m-m)/σ)

              =P((X-m)/σ ≥ 0)
 

確率変数Zが標準正規分布N（0、1）に従うとき、下記の性質があります。

P(Z ≥ 0)=1/2

したがって、P((X-m)/σ ≥ 0)＝1/2　となります。

確率変数 X が正規分布N(m,σ²)に従うとき、

これを標準化します。

P(X ≥ m)=P((X-m)/σ ≥ (m-m)/σ)

                =P((X-m)/σ ≥ 0)

正規分布は平均mを中心に左右対称なので

P(X ≥ m)=1/2