共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問81 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問3)
問題文
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ（単位はg）を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N（m、σ2）に従うとする。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ（単位はg）を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N（m、σ2）に従うとする。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問81（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ（単位はg）を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N（m、σ2）に従うとする。
（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ（単位はg）を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N（m、σ2）に従うとする。
- σ
- σ2
- σ／√n
- σ2／n
- m
- 2m
- m2
- √m
- σ／n
- nσ
- nm
- m／n
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この過去問の解説 （3件）
01
「標本平均の期待値」は、母集団の平均と同じ値になります。
すなわち、本設問での標本平均の期待値は、
「ピーマンの重さの平均」であるmに等しくなります。
「m」の選択肢が設問（エ）の解答となります。
この選択肢は「標本平均の標準偏差」です。
この選択肢は「標本平均の分散」です。
「標本平均の期待値」＝「母集団の平均」の関係式は、
1つの公式として覚えておいたほうが好ましいですが、
次のように導出もできます。
母集団の平均を m、確率変数としての各標本をXkとして、
E(X1) = E(X2) = E(X3) = … = E(Xn) = mである事と、
公式 E(aX) = aE(X) を使い、
E[(X1 + X2 + … + Xn )/n ] = E(X1)/n + E(X2)/n + … +E(Xn)/n
= n・(m/n) = m
本設問は公式そのものが問われています。
母集団（本設問ではピーマン全体）から無作為に抽出した標本を確率変数 Xk（本設問では抜き出したピーマンが特定の重さである確率）として考えたときに、
(X1 + X2 +X3 + … +Xn)/n を標本平均と言います。
少しややこしいようですが、本設問での「標本平均の期待値」とは、標本平均に対してさらに期待値を考えたものです。
すなわち、E[(X1 + X2 +X3 + … +Xn)/n ] を指します。
この値には公式があり、母集団の平均（すなわちX1, X2, X3, …,Xn の共通の平均）m に等しくなります。
E[(X1 + X2 + X3 + … +Xn)/n ] = m が公式です。
上記で計算による導出も示しましたがあくまで参考として考え、
公式自体を覚えておくほうがよいでしょう。
本設問のように直接的に問われる事もあります。
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02
Xが正規分布N（m、σ2）に従う確率変数であるとき、平均（期待値）E(X)=mです。
母集団における確率変数Xの平均E(X)と標本平均Xｰの平均E(X-)は等しいので、
E(X-)=mとなります。
正解の選択肢です。
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03
標本平均の期待値は母平均と等しくなります。
よって、
E(X-)=m
正解です。
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