共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問84 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問6)

問題文には記されていませんが、
母集団の確率変数が正規分布 N(m, σ)にしたがうとき、
標本平均はおおよそ、N(m, σ²/n) の正規分布にしたがいます。

問題文によると z₀ の値を使い m（母集団の平均） の信頼区間を求める事になります。
つまり -z₀ ≦ Z ≦ z₀ の範囲を「mの信頼度90%の信頼区間」とみなします。

前問（カ）（キク）の結果より、z₀ = 1.65 が得られていますが、
これは標準正規分布での値です。
ある正規分布にしたがう確率変数を、標準正規分布にしたがう確率変数に変換する公式を使います。
z₀ = (標本平均 - m)/(標本平均の標準偏差) です。

ここで、問題文より標本平均の値が分かっていて、30.0 です。

次に、
問題文により「標本の標準偏差」を母集団の標準偏差とみなしてよい事に注意すると、
（標本平均の標準偏差）＝(母集団の標準偏差)/(√n) ≒(標本の標準偏差)/(√n)
= 3.6/(√400) = 3.6/20　（設問（オ）の結果でもある公式を使用）

よって、
1.65 = (30 - m)/{3.6/(√400)} により、
m = 30 - 20・(1.65)/3.6 = 30 - 0.297 = 29.703 

z₀ は正規分布表を使って求めた「平均以上」の部分の確率なので、
「平均以下」の部分である -z₀ を使うと、
-1.65 = (30 - m)/{3.6/(√400)} により、
m = 30 + 20・(1.65)/3.6 = 30 + 0.297 = 30.297

Z の閉区間 [-z₀, z₀] が m の閉区間 [29.703, 30.297] に対応する事になるので、
29.703 ≦ m ≦ 30.297 となります。

選択肢の数値はどれも小数第1位までの値なので、
小数第2位を四捨五入して答えるものと解釈すると、
「29.7≦m≦30.3」の選択肢が設問（ケ）の解答となります。

前問（カ）（キク）

P(-z₀ ≦ Z ≦ z₀ ) = 0.901 となる z₀ を正規分布表を使って調べます。
ただし正規分布表で調べる事ができるのは、
P( 0 ≦ Z ≦ z₀ ) = 0.901/2 = 0.4505 を満たす z₀ です。
正規分布（標準正規分布を含む）の正規曲線は、

平均（標準正規分布では 0）を境に左右対称のグラフの形となる事を利用しています。
 

正規分布表を探すと 0.4505 の値があり、
そのようになる z₀ は左の列の 1.6 と上側の行の 0.05 を合わせ、
z₀ = 1.65 となります。

設問（オ）

標本平均の分散の公式は、

V[(X₁ + X₂ + … + X_n )/n] = σ²/n です。
標本平均の標準偏差は、標準偏差の分散の正の平方根であり、
σ/(√n) となります。

下記の公式を利用します。
母標準偏差をσ、標本平均をX^-、標本の大きさをnとすると、母平均mの信頼区間を求める式は
X^--z₀・σ/√ｎ≤m≤X^-+z₀・σ/√ｎ
ただし、z₀は信頼区間がc%のときP(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) =c/100となる値です。

問題文の方針の通り、P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) = 0.901 となるz₀を正規分布表から求めます。

Zは標準正規分布N(0、1)に従う確率変数であり、正規分布曲線はx=0に関して対称なので、z₀>0とすると下記の性質があります。

P(-z₀ ≤ Z ≤ 0)=P(0≤ Z ≤ z₀)

上記より、P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) ＝2P(0≤ Z ≤ z₀)となります。

P(0≤ Z ≤ z₀)=0.901/2=0.4505となるので正規分布表から0.4505となるz₀を探すと、

z₀＝1.65となります。

問題文より、n=400、標本平均が30.0g、標本の標準偏差が3.6g、前問よりz₀=1.65です。
また、問題文より標本の大きさn=400が十分に大きいので母標準偏差の代わりに標本偏差を用いてよいことがわかります。
 

上記より、σ=3.6、X^-=30.0、n=400、z₀=1.65を公式に代入します。
30-1.65×3.6/√400≤m≤30+1.65×3.6/√400
30-1.65×0.18≤m≤30+1.65×0.18
30-0.297≤m≤30+0.297
29.703≤m≤30.297

小数第2位で四捨五入します。
29.7≤m≤30.3

問題文の方針より、

 P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) = 0.901 となるz₀を正規分布表から求めます。

 

標準正規分布は左右対称なので、

P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) = 0.901は、

中心から左右にz₀ずつ広がった範囲の確率が0.901です。

 

つまり片側の面積は、

0.901/2=0.4505

 

正規分布表から0.4505になるz₀を探すと、

z₀=1.65

 

与えられた情報は

n=400

標本平均=30.0g

標本の標準偏差=3.6g

z₀=1.65（前問より）

です。

標本平均をX^-、標本の標準偏差をsとすると、

標本平均の標準偏差は

σ(X^-)=s/√n

        =3.6/√400

        =3.6/20

        =0.18

標本平均X^-は正規分布N(m,0.18²)に従います。 

これを標準化すると、

Z=(X^--m)/0.18が標準正規分布N(0,1)に従います。

mについて解いていきます。

-1.65≤Z≤1.65

-1.65≤(X^--m)/0.18≤1.65

-0.297≤(X^--m)≤0.297

X^-=30.0を代入

-0.297≤(30.0-m)≤0.297

30-0.297≤m≤30+0.297

29.703≤m≤30.297

小数第1位まで四捨五入すると、

29.7≤m≤30.3