大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問84 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問6)

下記の公式を利用します。
母標準偏差をσ、標本平均をX^-、標本の大きさをnとすると、母平均mの信頼区間を求める式は
X^--z₀・σ/√ｎ≤m≤X^-+z₀・σ/√ｎ
ただし、z₀は信頼区間がc%のときP(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) =c/100となる値です。

問題文の方針の通り、P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) = 0.901 となるz₀を正規分布表から求めます。

Zは標準正規分布N(0、1)に従う確率変数であり、正規分布曲線はx=0に関して対称なので、z₀>0とすると下記の性質があります。

P(-z₀ ≤ Z ≤ 0)=P(0≤ Z ≤ z₀)

上記より、P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) ＝2P(0≤ Z ≤ z₀)となります。

P(0≤ Z ≤ z₀)=0.901/2=0.4505となるので正規分布表から0.4505となるz₀を探すと、

z₀＝1.65となります。

問題文より、n=400、標本平均が30.0g、標本の標準偏差が3.6g、前問よりz₀=1.65です。
また、問題文より標本の大きさn=400が十分に大きいので母標準偏差の代わりに標本偏差を用いてよいことがわかります。
 

上記より、σ=3.6、X^-=30.0、n=400、z₀=1.65を公式に代入します。
30-1.65×3.6/√400≤m≤30+1.65×3.6/√400
30-1.65×0.18≤m≤30+1.65×0.18
30-0.297≤m≤30+0.297
29.703≤m≤30.297

小数第2位で四捨五入します。
29.7≤m≤30.3

問題文の方針より、

 P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) = 0.901 となるz₀を正規分布表から求めます。

 

標準正規分布は左右対称なので、

P(-z₀ ≤ Z ≤ z₀) = 0.901は、

中心から左右にz₀ずつ広がった範囲の確率が0.901です。

 

つまり片側の面積は、

0.901/2=0.4505

 

正規分布表から0.4505になるz₀を探すと、

z₀=1.65

 

与えられた情報は

n=400

標本平均=30.0g

標本の標準偏差=3.6g

z₀=1.65（前問より）

です。

標本平均をX^-、標本の標準偏差をsとすると、

標本平均の標準偏差は

σ(X^-)=s/√n

        =3.6/√400

        =3.6/20

        =0.18

標本平均X^-は正規分布N(m,0.18²)に従います。 

これを標準化すると、

Z=(X^--m)/0.18が標準正規分布N(0,1)に従います。

mについて解いていきます。

-1.65≤Z≤1.65

-1.65≤(X^--m)/0.18≤1.65

-0.297≤(X^--m)≤0.297

X^-=30.0を代入

-0.297≤(30.0-m)≤0.297

30-0.297≤m≤30+0.297

29.703≤m≤30.297

小数第1位まで四捨五入すると、

29.7≤m≤30.3