大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問86 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問8)

問題文より、ピーマンの重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類します。
また、母平均m=30.0です。

(1)(ⅰ)より、この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき重さがmg以上である確率は

P(X ≥ m)=P((X-m)≥ (m-m)）
             =P((X-m)/σ ≥ (m-m)/σ)
             =P((X-m)/σ ≥ 0)

確率変数Zが標準正規分布N（0、1）に従うとき、下記の性質があります。
P(Z ≥ 0)=1/2
したがって、P((X-m)/σ ≥ 0)＝1/2　となります。

 

上記より、1個のピーマンを無作為に抽出したとき重さが30.0g以上である確率は1/2となり、重さが30g以下である確率も1/2となります。

「ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数」は、「50回中1/2の確率の事象が起こる回数」と言い換えることができ、反復試行なのでその確率は二項分布に従います。

確率pで事象Aが起こる試行をn回繰り返し、Aが起こった回数をU₀とするとU₀の確率分布は二項分布B(n,p)に従うとなっています。

よって、ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数U₀は、二項分布B（50,1/2）に従います。

１回の試行で事象Aの起こる確率がpのとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとするとX=rになる確率は次の式で求められます。
P(X=r)=_nC_rp^rq^n-r　(r=0,1,2,……,n;0<p<1,q=1-r)

よってp₀は、上記の式にn=50、r=25、p=1/2、q=1/2を代入すれば求めることができます。

シスに当てはまるのはrなので25となります。

重さが30.0g以下のときをSサイズとするので、

無作為に1個抽出したピーマンが30.0g以下である確率を考える。

 

m＝30.0であるから、

確率は1/2

ピーマンを無作為に50個抽出したときの

Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数U₀は

二項分布B(50,1/2)に従うので、

ピーマンを25袋作ることができる確率は、

p₀=₅₀C₂₅×(1/2)²⁵×(1-1/2)^50-25