共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問87 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問9)

正規分布を記号で表す時は N(m, σ²) のように、
「期待値」と「分散」で表します。
本設問では二項分布を正規分布として扱えるものとして、
期待値がどのようになるかが問われています。

二項分布 B(n, p) の期待値は np で表されます。
本設問では試行回数が n = 50 + k であり、
「Sサイズ」が出る確率が 1/2 なので、
期待値は  (50 + k)・(1/2) = (50 + k)/2 となります。

「(50 + k)/2」の選択肢が設問（セ）の解答となります。

コサの解答の確認をします。

問題文より、ピーマンの重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類します。
また、母平均m=30.0です。
(1)(ⅰ)より、この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき重さがmg以上である確率は

P(X ≥ m)=P((X-m)≥ (m-m)）
             =P((X-m)/σ ≥ (m-m)/σ)
             =P((X-m)/σ ≥ 0)

確率変数Zが標準正規分布N（0、1）に従うとき、下記の性質があります。
P(Z ≥ 0)=1/2
したがって、P((X-m)/σ ≥ 0)＝1/2　となります。

上記より、1個のピーマンを無作為に抽出したとき重さが30.0g以上である確率は1/2となり、重さが30g以下である確率も1/2となります。
 

ピーマンを無作為に(50 + k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数をを表す確率変数U_kは二項分布B(50+k,1/2)に従います。
(50+k)は十分に大きいので、U_kは近似的に正規分布に従います。

二項分布B(n,p)は、正規分布N(np,np(1-p))で近似できます。

よってセはnpのnに(50+k)、pに1/2を代入すれば求めることができます。

(50+k)×1/2=(50+k)/2
 

コサの回答

 

重さが30.0g以下のときをSサイズとするので、

無作為に1個抽出したピーマンが30.0g以下である確率を考えます。

 

m＝30.0であるから、

確率は1/2

ピーマンを無作為に(50 + k)個抽出したとき、

Sサイズのピーマンの個数をを表す確率変数U_kは

二項分布B(50+k,1/2)に従います。

(50+k)は十分に大きいので、

U_kは近似的に正規分布に従います。

二項分布 B(n, p) の正規近似：

平均：np

分散：np(1-p)

B(50+k,1/2)なので、

平均は

(50+k)×1/2=(50 + k)/2

分散は

(50+k)×1/2×(1-1/2)=(50+k)/4