大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問22 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問10)
問題文
（ テ ）・（ ト ）にあてはまるものを1つ選べ。
花子さんの通う学校では、生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった。投票結果に関心がある花子さんは、身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い、各回答が賛成ならば1、反対ならば0と表すことにした。このようにして作成されるn人分のデータをx1，x2，…，xnと表す。ただし、賛成と反対以外の回答はないものとする。
例えば、10人について調べた結果が
0，1，1，1，0，1，1，1，1，1
であったならば、x1＝0，x2＝1，…，x10＝1となる。この場合、データの値の総和は8であり、平均値は4／5である。
花子さんの通う学校では、生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった。投票結果に関心がある花子さんは、身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い、各回答が賛成ならば1、反対ならば0と表すことにした。このようにして作成されるn人分のデータをx1，x2，…，xnと表す。ただし、賛成と反対以外の回答はないものとする。
例えば、10人について調べた結果が
0，1，1，1，0，1，1，1，1，1
であったならば、x1＝0，x2＝1，…，x10＝1となる。この場合、データの値の総和は8であり、平均値は4／5である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）追・再試験 問22（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
（ テ ）・（ ト ）にあてはまるものを1つ選べ。
花子さんの通う学校では、生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった。投票結果に関心がある花子さんは、身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い、各回答が賛成ならば1、反対ならば0と表すことにした。このようにして作成されるn人分のデータをx1，x2，…，xnと表す。ただし、賛成と反対以外の回答はないものとする。
例えば、10人について調べた結果が
0，1，1，1，0，1，1，1，1，1
であったならば、x1＝0，x2＝1，…，x10＝1となる。この場合、データの値の総和は8であり、平均値は4／5である。
花子さんの通う学校では、生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった。投票結果に関心がある花子さんは、身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い、各回答が賛成ならば1、反対ならば0と表すことにした。このようにして作成されるn人分のデータをx1，x2，…，xnと表す。ただし、賛成と反対以外の回答はないものとする。
例えば、10人について調べた結果が
0，1，1，1，0，1，1，1，1，1
であったならば、x1＝0，x2＝1，…，x10＝1となる。この場合、データの値の総和は8であり、平均値は4／5である。
- テ：n ト：m
- テ：（n−m） ト：m／2
- テ：m／n ト：（n−m）／2
- テ：m ト：（n−m）
- テ：n／2 ト：m
- テ：m／2 ト：n／2
- テ：｛1−（m／n）｝ ト：m
- テ：（n−m）／2 ト：n
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この過去問の解説 （2件）
01
分散とは、偏差（各データの平均との差）の2乗の平均のことです。
以下の公式を覚えておきましょう。
分散をs2, 平均値をx, 総数をn, 各データをx1, x2, …, xn で表すとき
s2=(1/n){(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2}
日本語で表すと （分散）＝（偏差）2の和 / 全体の人数 ですね。
データのばらつきを調べるために使われます。分散が小さいほどばらつきが小さく、大きいほどばらつきも大きくなります。
公式 s2=(1/n){(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2} から、
（1−m/n）は賛成の人の偏差
（0−m/n）は反対の人の偏差
を表していると分かります。
よって（テ）には賛成の人の数が、（ト）には反対の人の数が入ります。
したがって、答えは （テ）＝m, （ト）＝n−m です。
公式が偏差を1つ1つ足す形であるのに対して、問題文では式が整理されています。それに気づくことができれば解きやすかったでしょう。
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02
xを平均値とおきます。
分散s2=(1/n){(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2}の公式を利用して考えます。
設問では、賛成の人数はm人ですので、x1=x2=…=xm=1であり、反対の人数はn-m人となり、xm+1=xm+2=…=xn=0となります。
x(平均値)は、m/nですので、賛成であれば各項は(1-(m/n))となり、反対であれば各項は(0-(m/n))となります。
これを分散の公式に代入すると、
s2=(1/n){m(1-(m/n))2+(n-m)(0-(m/n))2}となります。
したがって、テ:ｍ ト:(n-m)が正解となります
上記により、正解となります。
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