大学入学共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問55 (数学Ⅱ・数学B（第1問）問4)

問題文

〔1〕（1）k＞0、k≠1とする。関数y＝log_kxとy＝log₂kxのグラフについて考えよう。

（ⅲ）k＝2、3、4のとき
y＝log_kxのグラフの概形は（　カ　）
y＝log₂kxのグラフの概形は（　キ　）
である。

（　カ　）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問55（数学Ⅱ・数学B（第1問）問4）（訂正依頼・報告はこちら）

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まず、対数のグラフは定点（1,0）を通るので、それ以外の選択肢は除外します。

残った選択肢については大小関係を把握したら良い事が分かります。

ここでy=1のときの値を比較します。

(a)k=2のとき

1=log₂x

↔x=2

(b)k=3のとき

1=log₃x

↔x=3

(c)k=4のとき

1=log₄x

↔x=4

したがって大小関係は(a)<(b)<(c)となります。

選択肢1.

上記解説より、この選択肢が正解です。

まとめ

グラフの関係性を図示できるかがpointとなります。

参考になった数0

この問題では自然対数をln(k)で表します。

選択肢1.

底kがk>0,k≠1のとき、対数は0となるlogの性質を利用して、x=1を関数に代入すると
y=log_k(1)=0
が常に成り立ちます。
したがって、y=log_kxのグラフはkの値が1を除く正の数で必ず点(1,0)を通ります。

対数関数の微分法を用いると、y=logkxの導関数y'は、
y'=1/(x*ln(k))
となります。

問題の条件よりx>0であり、またkは2,3,4と1より大きい値なのでln(k)>0です。
したがってy'は常に正となり、グラフは増加関数であることが分かります。

ここで、kの値が大きくなるにつれてln(k)の値も大きくなります。
つまりkの値が大きくなるにつれてy'の値は小さくなります。
したがって、kの値が大きくなるほど、x>1の範囲でグラフは接線の傾きが緩やかになることになるため、x軸に近づいていきます。

よって、グラフ全てが点(1,0)を通り、kが大きくなるほどx軸にグラフに近づく図が正解となります。

参考になった数0