共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問55 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4)

選択肢のグラフでは少し見づらいですが、
y < 0 のときには同じ x の値に対する y の大きさの順は、y > 0 の場合とは逆転します。
例えば x = 1/4 のとき（このとき y < 0）、
log_1/42 = -2
log_1/44 = -1 であり、k=4 のときのほうが k= 2 のときよりも y の値が大きくなります。

このグラフの関係だと、同じ x に対する y の大きさの順が逆になってしまいます。

グラフが交わる点はx軸上の点 (1, 0) なのでこの図は不適です。

上記解説より、この選択肢が正解です。

底kがk>0,k≠1のとき、対数は0となるlogの性質を利用して、x=1を関数に代入すると
y=log_k(1)=0
が常に成り立ちます。
したがって、y=log_kxのグラフはkの値が1を除く正の数で必ず点(1,0)を通ります。

対数関数の微分法を用いると、y=logkxの導関数y'は、
y'=1/(x*ln(k))
となります。

問題の条件よりx>0であり、またkは2,3,4と1より大きい値なのでln(k)>0です。
したがってy'は常に正となり、グラフは増加関数であることが分かります。

ここで、kの値が大きくなるにつれてln(k)の値も大きくなります。
つまりkの値が大きくなるにつれてy'の値は小さくなります。
したがって、kの値が大きくなるほど、x>1の範囲でグラフは接線の傾きが緩やかになることになるため、x軸に近づいていきます。

よって、グラフ全てが点(1,0)を通り、kが大きくなるほどx軸にグラフに近づく図が正解となります。