大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問56 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問5)
問題文
〔1〕（1）k＞0、k≠1とする。関数y＝logkxとy＝log2kxのグラフについて考えよう。
（ⅲ）k＝2、3、4のとき
y＝logkxのグラフの概形は（ カ ）
y＝log2kxのグラフの概形は（ キ ）
である。
（ キ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問56（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕（1）k＞0、k≠1とする。関数y＝logkxとy＝log2kxのグラフについて考えよう。
（ⅲ）k＝2、3、4のとき
y＝logkxのグラフの概形は（ カ ）
y＝log2kxのグラフの概形は（ キ ）
である。
（ キ ）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
まず、対数のグラフは定点（1,0）を通るので、それ以外の選択肢は除外します。
残った選択肢については大小関係を把握したら良い事が分かります。
ここでy=1のときの値を比較します。
(a)k=2のとき
1=log2x
↔x=2
(b)k=3のとき
1=log3x
↔x=3
(c)k=4のとき
1=log4x
↔x=4
したがって大小関係は(a)<(b)<(c)となります。
y＝log2kx=log2k+log2x
ここで、k=2,3,4のときの大小関係は
log22<log23<log24
が常に成り立ちます。
従って常に
log22+log2x<log23+log2x<log24+log2x
が成り立ちます。
上記解説より、この選択肢が正解です。
グラフの関係性を図示できるかがpointとなります。
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02
この問題では自然対数をln(k)、yの導関数をy'で表します。
y＝log2kxはk＝2、3、4のとき、それぞれx=1/2,1/3,1/4でy=0となります。
また、
y'
=(1/(kx*ln(2)))*k
=1/(x*ln(2))
となります。
これより関数yはkの値によらず任意のx座標において接線の傾きが一定であることが分かり、3つのグラフは互いをy軸方向に平行移動していることが分かります。
よって、グラフが重なることなく、y=0のときのx座標がkが大きいほど小さいグラフが正解となります。
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