共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問56 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問5)

本設問では底が 2 に固定されています。
y =0 とすると 2⁰ = 1 ですが、
そのときに 1 = kx となるので、
k = 2 のときに x = 1/2
k = 3 のときに x = 1/3
k = 4 のときに x = 1/4 となり、
k が大きいほどx の値は y 軸に近付きます。

また、log₂(kx) = log₂k + log₂x となり、
関数は「k で決まる定数」＋log₂xの形になり、互いに交わる事はありません。
互いに y 軸方向に平行移動した形のグラフになります。

よって、
3つのグラフが交わる事がなく、
y = 0 となる x の値が小さい順からk = 4, k = 3, k = 2 に並んでいる図の選択肢が設問（キ）の解答となります。（下図です。）

まず、対数のグラフは定点（1,0）を通るので、それ以外の選択肢は除外します。

残った選択肢については大小関係を把握したら良い事が分かります。

ここでy=1のときの値を比較します。

(a)k=2のとき

1=log₂x

↔x=2

(b)k=3のとき

1=log₃x

↔x=3

(c)k=4のとき

1=log₄x

↔x=4

したがって大小関係は(a)<(b)<(c)となります。

y＝log₂kx=log₂k+log₂x

ここで、k=2,3,4のときの大小関係は

log₂2<log₂3<log₂4

が常に成り立ちます。

従って常に

log₂2+log₂x<log₂3+log₂x<log₂4+log₂x

が成り立ちます。

この問題では自然対数をln(k)、yの導関数をy'で表します。