大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問58 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)

指数・対数の関係性より0＜log_xy＜1は

log_x1＜log_xy＜log_xx

と表すことができます。

x＞0、x≠１より、下記の２通り場合分けできます。

(a)x>1のとき、1<y<x

(b)0<x<1のとき、1>y>x

(a)を満たす範囲は下図のようになります。

(b)を満たす範囲は下図のようになります。

従って両方満たす範囲が正解となります。

(A)0<x<1の場合
底xが1より小さいので、y=log_xtはtについての減少関数になります。

(A-i)log_xy>0の場合
0=log_x1なので、log_xy>log_x1となります。
底が1より小さいので、y<1となります。

(A-ii)log_xy<1の場合
1=log_xxなので、log_xy<log_xxとなります。
底が1より小さいので、y>xとなります。

以上をまとめると、0<x<1の範囲では、求める領域はx<y<1となります。
これは、直線y=xの上側であり、かつ、直線y=1の下側の領域です。

(B)x>1の場合
底xが1より大きいので、y=log_xtはtについての増加関数になります。

(B-i)log_xy>0はlog_xy>log_x1と同じです。
底が1より大きいので、y>1となります。

(B-ii)log_xy<1はlog_xy<log_xxと同じです。
底が1より大きいので、y<xとなります。

以上をまとめると、x>1の範囲では、求める領域は1<y<xとなります。
これは、直線y=1の上側であり、かつ、直線y=xの下側の領域です。

(A)と(B)の結果を合わせると、求める領域は直線y=xと直線y=1で囲まれる領域であることが分かります。