共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問58 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)

まず、具体的に考えてみましょう。
例えば x = 2 のとき、
log₂4 = 2（不適）
log₂2 = 1（境界）
log₂√2 = 1/2
log₂1 = 0（境界）
log₂(1/2) = -1（不適）
x = 3 や x = 4 で試しても同じ事が分かります。
つまり、 x >1 のときには 1 < y < x となります。  
y の値が 各 x 以上になると、 log_xy < 1 に反します。
また、y の値が各 x に対して 1 以下になると 0 < log_xy に反します。

他方、x < 1 のときには状況が変わる事が予測されます。
（選択肢の図もヒントになります。） 
例えば x = 1/2 のとき、
log_1/24 = -2（不適）
log_1/22 = -1（不適）
log_1/21 = 0（境界）
log_1/2{1/(√2)} = 1/2
log_1/2(1/2) = 1（境界）
log_1/2(1/4) = 2（不適）
つまり、x < y < 1 となります。
y が 1 以上になると log_xy > 0 に反し、
y が x 以下になると log_xy < 1 に反します。

よって、x > 1 のときに 1 < y < x となり、
x < 1 の時に x < y < 1 となる領域を表す図が設問（ケ）の解答です。（下図になります。）

指数・対数の関係性より0＜log_xy＜1は

log_x1＜log_xy＜log_xx

と表すことができます。

x＞0、x≠１より、下記の２通り場合分けできます。

(a)x>1のとき、1<y<x

(b)0<x<1のとき、1>y>x

(a)を満たす範囲は下図のようになります。

(b)を満たす範囲は下図のようになります。

従って両方満たす範囲が正解となります。

(A)0<x<1の場合
底xが1より小さいので、y=log_xtはtについての減少関数になります。

(A-i)log_xy>0の場合
0=log_x1なので、log_xy>log_x1となります。
底が1より小さいので、y<1となります。

(A-ii)log_xy<1の場合
1=log_xxなので、log_xy<log_xxとなります。
底が1より小さいので、y>xとなります。

以上をまとめると、0<x<1の範囲では、求める領域はx<y<1となります。
これは、直線y=xの上側であり、かつ、直線y=1の下側の領域です。

(B)x>1の場合
底xが1より大きいので、y=log_xtはtについての増加関数になります。

(B-i)log_xy>0はlog_xy>log_x1と同じです。
底が1より大きいので、y>1となります。

(B-ii)log_xy<1はlog_xy<log_xxと同じです。
底が1より大きいので、y<xとなります。

以上をまとめると、x>1の範囲では、求める領域は1<y<xとなります。
これは、直線y=1の上側であり、かつ、直線y=xの下側の領域です。

(A)と(B)の結果を合わせると、求める領域は直線y=xと直線y=1で囲まれる領域であることが分かります。