共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問59 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)
問題文
〔2〕S（x）をxの2次式とする。xの整式P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とする。ただし、S（x）とP（x）の係数は実数であるとする。
（1）P（x）＝2x3＋7x2＋10x＋5、S（x）＝x2＋4x＋7の場合を考える。
方程式S（x）＝0の解はx＝（ コサ ）±（√［ シ ］）iである。
また、T（x）＝（ ス ）x−（ セ ）、U（x）＝（ ソタ ）である。
（ コサ ）、（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）P（x）＝2x3＋7x2＋10x＋5、S（x）＝x2＋4x＋7の場合を考える。
方程式S（x）＝0の解はx＝（ コサ ）±（√［ シ ］）iである。
また、T（x）＝（ ス ）x−（ セ ）、U（x）＝（ ソタ ）である。
（ コサ ）、（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問59（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
〔2〕S（x）をxの2次式とする。xの整式P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とする。ただし、S（x）とP（x）の係数は実数であるとする。
（1）P（x）＝2x3＋7x2＋10x＋5、S（x）＝x2＋4x＋7の場合を考える。
方程式S（x）＝0の解はx＝（ コサ ）±（√［ シ ］）iである。
また、T（x）＝（ ス ）x−（ セ ）、U（x）＝（ ソタ ）である。
（ コサ ）、（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）P（x）＝2x3＋7x2＋10x＋5、S（x）＝x2＋4x＋7の場合を考える。
方程式S（x）＝0の解はx＝（ コサ ）±（√［ シ ］）iである。
また、T（x）＝（ ス ）x−（ セ ）、U（x）＝（ ソタ ）である。
（ コサ ）、（ シ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- コサ：−1 シ：2
- コサ：−1 シ：3
- コサ：−2 シ：3
- コサ：−2 シ：2
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この過去問の解説 （3件）
01
x2 + 4x + 7 = 0 とすると、
(x + 2)2 + 3 = 0
⇔ (x +2)2 = -3
⇔x = -2 ± (√3)i
本設問は（コサ）± (√[シ])i の形で答えるので、
コサ：-2 オ：3 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
ax2 + bx + c = 0 に対する解の公式 x = {- b ±√(b2-4ac)}/(2a)に当てはめても同じ結果を得ます。
上記解説では解の公式の導出と同じ計算方法で解きました。
本設問は2次方程式を解く設問ですが、
解として虚数解が得られる事が特徴となっています。
i2 = -1 です。
2次方程式の解の公式は a ≠ 0 のもとで次のように得られます。
ax2 + bx + c = 0
⇔ a{x + b/(2a)}2 - b2/(4a) +c = 0
⇔ a{x + b/(2a)}2 = (b2 - 4ac)/(4a)
⇔ {x + b/(2a)}2 = (b2 - 4ac)/(4a2)
⇔ x + b/(2a) = {±√(b2 - 4ac)}/(2a)
⇔ x = {-b ±√(b2 - 4ac)}/(2a)
上記解説ではこの計算と同じ事をやっています。
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02
S(x)=0より、x2＋4x＋7=0について解の公式用いると
x
=(-4±√(42-4×1×7))/2×1
=(-4±√(16-28))/2
=(-4±√(-12))/2
=(-4±2(√3)i))/2
=-2±(√3)i
正解です。
解の公式は覚えておくことがpointです。
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03
S(x)=0の解を求めます。
2次方程式x2+4x+7=0で解の公式を利用すると、
x
=(-4±√(42-4*1*7))/(2*1)
=(-4±√(16-28))/2
=(-4±√(-12))/2
=(-4±2√3*i)/2
=-2±(√3)i
となります。
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