共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問66 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問15)

前問（ト）より「P(α) = mα + n かつ P(β) = mβ + n」であり、 
設問（チ）より P(α) = P(β) であるので、
mα + n = mβ + n ⇔ mα = mβ
ここで、問題文から α≠β なので m = 0 となります。
n はそのまま定数の余りとして残ります。

「m = 0」の選択肢が設問（ナ）の解答となります。

前問（ト）

P(x) = S(x)T(x) + mx + n にαとβを代入します。
問題文より S(α) = S(β) = 0 である事に注意すると、
P(α) = 0 + mα + n = mα + n
P(β) = 0 + mβ + n = mβ + n

設問（チ）

順番として正しい論理は、次のようになります。

1: 問題文の条件より、P(x) ＝ S(x)T(x) ＋k

2: α と βが S(x) = 0 の解なので、S(α) = S(β) =0

3: よって、P(α) ＝ S(α)T(α) ＋k = 0 + k = k であり、

かつ P(β) ＝ S(β)T(β) ＋k = 0 + k = k

題意より、方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつことから

S(α)=S(β)=0

が成り立ちます。

同様に題意より、P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とすること、U（x）＝kとおくことから

P(x)=S(x)T(x)+k

が成り立ちます。

これら２式を用いて定数を算出すると

P(α)=P(β)=k

が成り立ちます。

この関係性が記載されていたら正解です。

３つ目の式よりP(α)=P(β)

題意より、U（x）＝mx＋nとおいているため

P(x)=S(x)T(x)+U(x)

S(α)=S(β)=0が成り立つことから

P(α)=mα+n

P(β)=mβ+n

が成り立ちます。

定数は等しいのでP(α)=P(β)より

mα+n=mβ+n

↔m(α-β)=0

ここでα≠βなので、m=0になります。