大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問67 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16)
問題文
〔2〕S（x）をxの2次式とする。xの整式P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とする。ただし、S（x）とP（x）の係数は実数であるとする。
（2）方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつとする。このとき
P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。
（ⅰ）余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてU（x）＝kとおける。このとき、（ チ ）。
したがって、余りが定数になるとき、（ ツ ）が成り立つ。
（ⅱ）逆に（ ツ ）が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
S（x）が2次式であるから、m、nを定数としてU（x）＝mx＋nとおける。P（x）をS（x）、T（x）、m、nを用いて表すと、P（x）＝（ テ ）となる。この等式のxにα、βをそれぞれ代入すると（ ト ）となるので、（ ツ ）とα≠βより（ ナ ）となる。以上から余りが定数になることがわかる。
（ⅰ）、（ⅱ）の考察から、方程式S（x）＝0が異なる二つの解α、βをもつとき、P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと（ ツ ）であることは同値である。
（3）pを定数とし、P（x）＝x10−2x9−px2−5x、S（x）＝x2−x−2の場合を考える。P（x）をS（x）で割った余りが定数になるとき、p＝（ ニヌ ）となその余りは（ ネノ ）となる。
（ ニヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（2）方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつとする。このとき
P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。
（ⅰ）余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてU（x）＝kとおける。このとき、（ チ ）。
したがって、余りが定数になるとき、（ ツ ）が成り立つ。
（ⅱ）逆に（ ツ ）が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
S（x）が2次式であるから、m、nを定数としてU（x）＝mx＋nとおける。P（x）をS（x）、T（x）、m、nを用いて表すと、P（x）＝（ テ ）となる。この等式のxにα、βをそれぞれ代入すると（ ト ）となるので、（ ツ ）とα≠βより（ ナ ）となる。以上から余りが定数になることがわかる。
（ⅰ）、（ⅱ）の考察から、方程式S（x）＝0が異なる二つの解α、βをもつとき、P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと（ ツ ）であることは同値である。
（3）pを定数とし、P（x）＝x10−2x9−px2−5x、S（x）＝x2−x−2の場合を考える。P（x）をS（x）で割った余りが定数になるとき、p＝（ ニヌ ）となその余りは（ ネノ ）となる。
（ ニヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問67（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16） （訂正依頼・報告はこちら）
〔2〕S（x）をxの2次式とする。xの整式P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とする。ただし、S（x）とP（x）の係数は実数であるとする。
（2）方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつとする。このとき
P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。
（ⅰ）余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてU（x）＝kとおける。このとき、（ チ ）。
したがって、余りが定数になるとき、（ ツ ）が成り立つ。
（ⅱ）逆に（ ツ ）が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
S（x）が2次式であるから、m、nを定数としてU（x）＝mx＋nとおける。P（x）をS（x）、T（x）、m、nを用いて表すと、P（x）＝（ テ ）となる。この等式のxにα、βをそれぞれ代入すると（ ト ）となるので、（ ツ ）とα≠βより（ ナ ）となる。以上から余りが定数になることがわかる。
（ⅰ）、（ⅱ）の考察から、方程式S（x）＝0が異なる二つの解α、βをもつとき、P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと（ ツ ）であることは同値である。
（3）pを定数とし、P（x）＝x10−2x9−px2−5x、S（x）＝x2−x−2の場合を考える。P（x）をS（x）で割った余りが定数になるとき、p＝（ ニヌ ）となその余りは（ ネノ ）となる。
（ ニヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（2）方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつとする。このとき
P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。
（ⅰ）余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてU（x）＝kとおける。このとき、（ チ ）。
したがって、余りが定数になるとき、（ ツ ）が成り立つ。
（ⅱ）逆に（ ツ ）が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
S（x）が2次式であるから、m、nを定数としてU（x）＝mx＋nとおける。P（x）をS（x）、T（x）、m、nを用いて表すと、P（x）＝（ テ ）となる。この等式のxにα、βをそれぞれ代入すると（ ト ）となるので、（ ツ ）とα≠βより（ ナ ）となる。以上から余りが定数になることがわかる。
（ⅰ）、（ⅱ）の考察から、方程式S（x）＝0が異なる二つの解α、βをもつとき、P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと（ ツ ）であることは同値である。
（3）pを定数とし、P（x）＝x10−2x9−px2−5x、S（x）＝x2−x−2の場合を考える。P（x）をS（x）で割った余りが定数になるとき、p＝（ ニヌ ）となその余りは（ ネノ ）となる。
（ ニヌ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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この過去問の解説 （1件）
01
題意より、方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつことから
S(α)=S(β)=0
が成り立ちます。
同様に題意より、P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とすること、U（x）＝kとおくことから
P(x)=S(x)T(x)+k
が成り立ちます。
これら２式を用いて定数を算出すると
P(α)=P(β)=k
が成り立ちます。
この関係性が記載されていたら正解です。
３つ目の式よりP(α)=P(β)
題意より、U（x）＝mx＋nとおいているため
P(x)=S(x)T(x)+U(x)
S(α)=S(β)=0が成り立つことから
P(α)=mα+n
P(β)=mβ+n
が成り立ちます。
定数は等しいのでP(α)=P(β)より
mα+n=mβ+n
↔m(α-β)=0
ここでα≠βなので、m=0になります。
上記と同様の議論を展開していきます。
S(α)=S(β)=0となるような値は
S（x）＝x2−x−2=(x-2)(x+1)
よりx=2,-1になります。
ここで前問までの議論より、P（x）をS（x）で割った余りが定数になるときはP(α)=P(β)が成立したらいいことが分かります。
従って
P（x）＝x10−2x9−px2−5xについて
P(2)=P(-1)
↔210-2・29-p22-5・2=(-1)10-2(-1)9-p(-1)2-5(-1)
↔-4p-10=-p+8
↔p=-6
となります。
正解です。
前問の関係式を用いて、計算過程をショートカットしていくことがpointです。
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