大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問17)

題意より、方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつことから

S(α)=S(β)=0

が成り立ちます。

同様に題意より、P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とすること、U（x）＝kとおくことから

P(x)=S(x)T(x)+k

が成り立ちます。

これら２式を用いて定数を算出すると

P(α)=P(β)=k

が成り立ちます。

この関係性が記載されていたら正解です。

３つ目の式よりP(α)=P(β)

題意より、U（x）＝mx＋nとおいているため

P(x)=S(x)T(x)+U(x)

S(α)=S(β)=0が成り立つことから

P(α)=mα+n

P(β)=mβ+n

が成り立ちます。

定数は等しいのでP(α)=P(β)より

mα+n=mβ+n

↔m(α-β)=0

ここでα≠βなので、m=0になります。

上記と同様の議論を展開していきます。

S(α)=S(β)=0となるような値は

S（x）＝x²−x−2=(x-2)(x+1)

よりx=2,-1になります。

ここで前問までの議論より、P（x）をS（x）で割った余りが定数になるときはP(α)=P(β)が成立したらいいことが分かります。

従って

P（x）＝x¹⁰−2x⁹−px²−5xについて

P(2)=P(-1)

↔2¹⁰-2・2⁹-p2²-5・2=(-1)¹⁰-2(-1)⁹-p(-1)²-5(-1)

↔-4p-10=-p+8

↔p=-6

となります。

余りはP(α)=P(β)=kなので

P(-1)=-p+8=14

となります。