共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問17)

前問（ニヌ）で、 
8 - p = k の式および p = -6 を得ています。
これらの式の中の k が余りになるので、
k = 8 - (-6) = 8+ 6 = 14

「14」の選択肢が設問（ネノ）の解答となります。
 

前問（ニヌ）

x² -x - 2 = 0
⇔(x - 2)(x +1) = 0 
⇔ x = 2 または -1 

 

ここで、余りとなる定数を k とします。

P(-1) = S(-1)T(-1) + k = k となるので、
P( -1) = k となる場合を考えると、
1 +2 - p + 5 = k
⇔ 8 - p = k

 

同様にP(2) = S(2)T(2) + k = k となるので、

P(2) = k となる場合を考えると、
2¹⁰ - 2¹⁰ -４p -10 = k
⇔ -4p - 10 = k
この式の右辺に 8 - p = k を代入すると、
-4p - 10 = 8 - p
⇔ 3p = -18 ⇔ p = -6

題意より、方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつことから

S(α)=S(β)=0

が成り立ちます。

同様に題意より、P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とすること、U（x）＝kとおくことから

P(x)=S(x)T(x)+k

が成り立ちます。

これら２式を用いて定数を算出すると

P(α)=P(β)=k

が成り立ちます。

この関係性が記載されていたら正解です。

３つ目の式よりP(α)=P(β)

題意より、U（x）＝mx＋nとおいているため

P(x)=S(x)T(x)+U(x)

S(α)=S(β)=0が成り立つことから

P(α)=mα+n

P(β)=mβ+n

が成り立ちます。

定数は等しいのでP(α)=P(β)より

mα+n=mβ+n

↔m(α-β)=0

ここでα≠βなので、m=0になります。

上記と同様の議論を展開していきます。

S(α)=S(β)=0となるような値は

S（x）＝x²−x−2=(x-2)(x+1)

よりx=2,-1になります。

ここで前問までの議論より、P（x）をS（x）で割った余りが定数になるときはP(α)=P(β)が成立したらいいことが分かります。

従って

P（x）＝x¹⁰−2x⁹−px²−5xについて

P(2)=P(-1)

↔2¹⁰-2・2⁹-p2²-5・2=(-1)¹⁰-2(-1)⁹-p(-1)²-5(-1)

↔-4p-10=-p+8

↔p=-6

となります。

余りはP(α)=P(β)=kなので

P(-1)=-p+8=14

となります。