共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問4)

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問72（数学Ⅱ・数学B（第2問）問4）（訂正依頼・報告はこちら）

（　ク　）にあてはまるものを1つ選べ。

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この過去問の解説（3件）

本設問の S(x) のような形の定積分は、
微分すると導関数は「積分対象の関数を x で表したもの」になります。
すなわち、S '(x) = f(x) = 3x² - 9x + 6 = 3(x - 1)(x - 2) です。
微分する事で得られた導関数が下に凸（とつ）の2次関数なので、
導関数の符号は、
x < 1 で正、
x = 1 で 0、
1 < x < 2 で負、
x = 2 で 0、
x > 2 で正です。
よって、x = 1 で S(x) は極大となります。

「1」の選択肢が設問（ク）の解答となります。

選択肢1. 1

設問（オ）～（キ）により S(x) = x³ -(9/2)x² + 6x であり、

これを x で微分すると 3x2 - 9x + 6 となり、
確かに関数 f(x) に等しい事を確認できます。

導関数を求めた後の増減表を作ると次のようになります。

設問（オ）～（キ）

前問（ウ）（エ）より、
定積分をする対象の関数は 3t² - 9t + 6 です。
この式の原始関数から積分定数を除いたものは、
t³ -(9/2)t² + 6t となります。
その式に x を代入したものから 0 を代入したものを引いて定積分の結果を得るので、
定積分の結果は、
{x³ -(9/2)x² + 6x} - 0 = x³ -(9/2)x² + 6x

設問（ウ）（エ）

f(t) = 3(t - 1)(t - 2) = 3(t² - 3t + 2)
= 3t² - 9t + 6

まとめ

微分と積分が逆演算の関係である事を指して「微積分学の基本定理」（名称は複数あります）と呼びますが、
より厳密には、本設問の S(x) のような定積分を微分したときにもとの関数を変数 x で表したものになる事を指して微積分学の基本定理と呼びます。（積分記号の下側の値は定数であれば 0 でなくても構いません。）

導関数を求めた後にもとの関数の極大と極小を調べるには、「増減表」を作るのが通例です。
自分で分かりやすい形のものを作りましょう。
導関数が 0 になる値の前後で、導関数の符号が「正」→「0」→「負」のように入れ替わるときに、導関数が 0 になる x の値でもとの関数は極大となります。

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m=2のとき

f(x)

=3(x²-3x+2)

f'(x)

=3(2x-3)

f'(x)=0となるとき

2x-3=0

↔x=3/2

となります。

x=1のとき、極大値S(1)=5/2を取ります。

選択肢1. 1

正解です。

まとめ

極値は増減表を作成することが最短且つ確実です。

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S(x)=x³-9/2x²+6xに対してS'(x)=3x²-9x+6でした。

S'(x)=3(x-1)(x-2)

より極大値の候補はx=1,2のときです。

S(1)=5/2,S(2)=2より、

ク:1

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