共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問4)
問題文
（ ク ）にあてはまるものを1つ選べ。 
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この過去問の解説 （3件）
01
本設問の S(x) のような形の定積分は、
微分すると導関数は「積分対象の関数を x で表したもの」になります。
すなわち、S '(x) = f(x) = 3x2 - 9x + 6 = 3(x - 1)(x - 2) です。
微分する事で得られた導関数が下に凸（とつ）の2次関数なので、
導関数の符号は、
x < 1 で正、
x = 1 で 0、
1 < x < 2 で負、
x = 2 で 0、
x > 2 で正です。
よって、x = 1 で S(x) は極大となります。
「1」の選択肢が設問（ク）の解答となります。
設問（オ）～（キ）により S(x) = x3 -(9/2)x2 + 6x であり、
これを x で微分すると 3x2 - 9x + 6 となり、
確かに関数 f(x) に等しい事を確認できます。
導関数を求めた後の増減表を作ると次のようになります。
設問（オ）～（キ）
設問（ウ）（エ）
微分と積分が逆演算の関係である事を指して「微積分学の基本定理」（名称は複数あります）と呼びますが、
より厳密には、本設問の S(x) のような定積分を微分したときにもとの関数を変数 x で表したものになる事を指して微積分学の基本定理と呼びます。（積分記号の下側の値は定数であれば 0 でなくても構いません。）
導関数を求めた後にもとの関数の極大と極小を調べるには、「増減表」を作るのが通例です。
自分で分かりやすい形のものを作りましょう。
導関数が 0 になる値の前後で、導関数の符号が「正」→「0」→「負」のように入れ替わるときに、導関数が 0 になる x の値でもとの関数は極大となります。
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02
m=2のとき
f(x)
=3(x2-3x+2)
f'(x)
=3(2x-3)
f'(x)=0となるとき
2x-3=0
↔x=3/2
となります。
x=1のとき、極大値S(1)=5/2を取ります。
正解です。
極値は増減表を作成することが最短且つ確実です。
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03
S(x)=x3-9/2x2+6xに対してS'(x)=3x2-9x+6でした。
S'(x)=3(x-1)(x-2)
より極大値の候補はx=1,2のときです。
S(1)=5/2,S(2)=2より、
ク:1
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