共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問73 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5)

前問（ク）により x = 1 で S(x) は極大となる事が分かったので、
設問（オ）～（キ）で得られた S(x) の式に代入して極大値を求めます。
S(x) = x³ -(9/2)x² + 6x に x = 1 を代入すると、
S(1) = 1 -9/2 +6 =(14 - 9)/2 = 5/2
これが S(x) の極大値です。

「5/2」の選択肢が設問（ケコ）の解答となります。

前問（ク）

本設問の S(x) のような形の定積分は、
微分すると導関数は「積分対象の関数を x で表したもの」になります。
すなわち、S '(x) = f(x) = 3x² - 9x + 6 = 3(x - 1)(x - 2) です。
微分する事で得られた導関数が下に凸（とつ）の2次関数なので、
導関数の符号は、
x < 1 で正、
x = 1 で 0、
1 < x < 2 で負、
x = 2 で 0、
x > 2 で正です。
よって、x = 1 で S(x) は極大となります。

設問（オ）～（キ）

前問（ウ）（エ）より、
定積分をする対象の関数は 3t² - 9t + 6 です。
この式の原始関数から積分定数を除いたものは、
t³ -(9/2)t² + 6t となります。
その式に x を代入したものから 0 を代入したものを引いて定積分の結果を得るので、
定積分の結果は、
{x³ -(9/2)x² + 6x} - 0 = x³ -(9/2)x² + 6x

設問（ウ）（エ）

f(t) = 3(t - 1)(t - 2) = 3(t² - 3t + 2)
= 3t² - 9t + 6

m=2のとき

f(x)

=3(x²-3x+2)

f'(x)

=3(2x-3)

f'(x)=0となるとき

2x-3=0

↔x=3/2

となります。

x=1のとき、極大値S(1)=5/2を取ります。

S(x)=x³-9/2x²+6xに対してS'(x)=3x²-9x+6でした。

S'(x)=3(x-1)(x-2)

より極大値の候補はx=1,2のときです。

S(1)=5/2,S(2)=2より、

ケコ:5/2