共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問77 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問9)

問題文

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問77（数学Ⅱ・数学B（第2問）問9）（訂正依頼・報告はこちら）

（　セ　）にあてはまるものを1つ選べ。

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この過去問の解説（3件）

問われている S₁ は、
「0 ≦ x ≦ 1の範囲で、関数 y = f(x) のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積」です。

m > 1の条件のもとで f(x) = 3(x - 1)(x - m) であるので、

0 ≦ x ≦ 1 の範囲で f(x) は 0 以上の値をとります。
そのため、閉区間 [0, 1] を積分区間として f(x) を定積分したものが S₁ に等しくなります。

「f(x)を x = 0 から x = 1 まで定積分した式」の選択肢が設問（セ）の解答となります。（次の積分記号での式です。）

選択肢1.

問われているものは「面積」（≧0）で、
選択肢は全て「定積分」であり、負の値もとり得ます。
積分対象の関数である f(x) の符号に注意しましょう。

しかし本設問では m > 1 のもとで f(x) =3(x - 1)(x - m) であり、

下図のように「0 ≦ x ≦ 1の範囲」では f(x) ≧ 0 となります。
そのため f(x) を定積分したものは正の値となり、そのまま「面積」となります。

選択肢2.

この選択肢は正しくありません。

問われているのは「0 ≦ x ≦ 1の範囲」における面積です。
問題文より m > 1 なので、この選択肢は、

「0 ≦ x ≦ 1の範囲で、関数 y = f(x) のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積」を表す事はできません。

選択肢4.

本設問ではこの選択肢は誤りとなりますが、
もし「0 ≦ x ≦ 1の範囲」で f(x) < 0となる範囲があればそこで f(x) は負の値となり、符号を変えないと「面積」になりませんので、この選択肢の式を選ぶ必要が出てきます。
本設問では「0 ≦ x ≦ 1の範囲」では f(x) ≧ 0 なのでこの選択肢は誤りです。

まとめ

グラフとx軸やy軸が囲む「面積」と「定積分」の関係が問われている設問です。
定積分のもともとの定義により、基本的には定積分は図形的に見ると「面積」に相当します。

ただし同じく定義により、定積分は「負の値も取り得る」ものとなっています。
そのため、定積分によって図形的な面積を求める場合には、積分する関数の正負に注意する必要があります。

本設問の関数 f(x) は2次関数で、なおかつ最初から因数分解された状態で提示されていますので符号の判定はしやすいと思われますが、選択肢に紛らわしいものがあるので注意しましょう。
本設問では「0 ≦ x ≦ 1の範囲」において f(x) ≧ 0 なので、f(x) をそのまま [0, 1] の閉区間で定積分したものがxy平面上での求める「面積」S₁になります。

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