共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問10)

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問78（数学Ⅱ・数学B（第2問）問10）（訂正依頼・報告はこちら）（新しいタブで開く）

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この過去問の解説（3件）

問われている S₂ は、
「1 ≦ x ≦ mの範囲で、関数 y = f(x) のグラフとx軸で囲まれた図形の面積」です。

「面積」なので、S₂ ≧ 0 に注意します。

問題文より m > 1 であり f(x) = 3(x - 1)(x - m) であるので、

1 ≦ x ≦ m の範囲で f(x) は 0 以下の値をとります。
そのため、閉区間 [1, m] を積分区間として - f(x) を定積分したものが S₂ に等しくなります。

「 -f(x)を x = 1 から x = m まで定積分した式」の選択肢が設問（ソ）の解答となります。（次の積分記号での式です。）

選択肢3.

選ばないように注意すべき選択肢です。

この定積分の値は負であり、- S₂ に等しいものになってしまいます。
正しくは、同じ積分区間で「-f(x)」を定積分しなければいけません。

選択肢6.

問われているのは「面積」（≧0）で、選択肢は全て「定積分」です。
定積分は面積の考え方が基本にありますが、負の値も取り得ます。

f(x) の符号に注意する必要があり、

本設問では積分区間において f(x) ≦ 0 となります。
m > 1 で、f(x) =3(x - 1)(x - m) である事から符号を判定できます。

下図のようになります。

このような場合、「定積分」と図形的に見た「面積」の値を一致させるには、符号の反転を行わなければいけません。
そのため、「-f(x)」を x = 1 から x = m まで定積分したものが S₂に等しくなります。

まとめ

f(x) が負の場合に、

図形的に見た「面積」と f(x) の定積分の関係が問われている設問です。
本設問では「1 ≦ x ≦ mの範囲」において f(x) ≦ 0 なので、
-f(x) を[1, m] の閉区間で定積分したものがxy平面上での求める「面積」S₂です。
符号を反転させずに f(x) を同じ区間で定積分すると負の値となり「面積」にならない事に注意しましょう。

前問（セ）のまとめより

グラフとx軸やy軸が囲む「面積」と「定積分」の関係が問われている設問です。
定積分のもともとの定義により、基本的には定積分は図形的に見ると「面積」に相当します。

ただし同じく定義により、定積分は「負の値も取り得る」ものとなっています。
そのため、定積分によって図形的な面積を求める場合には、積分する関数の正負に注意する必要があります。

本設問の関数 f(x) は2次関数で、なおかつ最初から因数分解された状態で提示されていますので符号の判定はしやすいと思われますが、選択肢に紛らわしいものがあるので注意しましょう。

参考になった数0

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