共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問81 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問13)

前問（チ）と設問（タ）での考察により、
S(m) = S₁ - S₂ です。
問題文の新たな条件 S₁ > S₂ は S₁ - S₂ >0 を意味します。
つまり、S(m) > 0 です。
したがって、S(x) のグラフの形は、極小値 S(m) が正の値であり、
残りの部分は前問（チ）と同じ形状のグラフになります。

次の図の選択肢が設問（ツ）の解答となります。

前問（チ）（※後半部分の「そして、…」以降が本設問（ツ）と異なる部分です。「x > m では…」以降は本設問も同じになります。）

f(x) ではなく S(x) のグラフを考える事に注意します。

 

まず、S(x) が「t= 0 から t = x までの f(t) の定積分」であるため、
x = 0 とすると、S(x) = 0 となります。

次に、S(x) の導関数は f(x) になります。（微積分学の基本定理によります。）
m > 1 のもとで f(x) =3(x - 1)(x - m) であり、
「0 ≦ x ≦ 1の範囲」では f(x) ≧ 0 となり、
「1 ≦ x ≦ m の範囲」では f(x) ≦ 0 となります。
「x < 0 および x >m」 では f(x) > 0 です。
つまり、S(x) は x = 0 から x = 1 まで増加していき、
そこから減少に転じます。

そして、問題文と前問（タ）での考察から、
x = m で S(x) = 0 となります。
（ S₁ -  S₂ = S(m) = 0 となる条件であるためです。）
x > m では S(x) は再び増加に転じるため、S(x) = 0 となる x は x= m のみで、
グラフはx軸に接してから増加していく形状になります。

 

設問（タ）（ S₁ -  S₂ = S(m)である事を考察しています。）

閉区間 [0, 1] を積分区間とする f(x) の定積分に、
閉区間 [1, m] を積分区間とする f(x) の定積分を加えると、
S₁ -S₂ となります。

問題文より m > 1 であり f(x) = 3(x - 1)(x - m) であるので、
前者の区間では f(x) ≧0, 後者の区間では f(x) ≦ 0 となるためです。
S₁ とS₂ は「面積」なので S₁ ≧0, S₂ ≧0 に注意しましょう。

 

したがって、S₁ = S₂ となるためには S₁ - S₂ = 0 であればよく、
閉区間 [0, 1] を積分区間とする f(x) の定積分に、
閉区間 [1, m] を積分区間とする f(x) の定積分を加えたものを表す選択肢を探せばよい事になります。

S₁、S₂を図示すると下図のようになります。

y=f(x)の概形は、

0≦x≦1で正の値、

1≦x≦mで負の値、

m≦xで正の値を取ります。

よって積分したy=S(x)は、

0≦x≦1で増加、

1≦x≦mで減少し、

m≦xで増加

という形をとります。