共通テスト（数学）過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問83 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問15)

問題文

（　ト　）にあてはまるものを1つ選べ。問題文の画像

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問題

共通テスト（数学）試験令和6年度（2024年度）本試験問83（数学Ⅱ・数学B（第2問）問15）（訂正依頼・報告はこちら）

（　ト　）にあてはまるものを1つ選べ。

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前問（テ）で求めた直線 x = (m + 1)/2 から、
x = 1 と x = m は等しい距離の位置にあり、
f(x) のグラフが直線 x = (m + 1)/2 に関して対称な事から、
閉区間 [1 -p, 1] での定積分と閉区間 [m, m + p] での定積分は等しい値になります。

よって、
「m + p」の選択肢が設問（ト）の解答となります。

前問（テ）

(x) は2次関数で、x軸との2つの交点が問題文の因数分解により分かっています。
(1, 0) と (m, 0) の中点を通りy軸に平行な直線に関して f(x) のグラフは対称となります。
よって、求める x は x = (m + 1)/2 です。

選択肢5. m＋p

定積分の基本的な考え方は面積と同じです。（違いは、定積分は負の値をとり得る点です。）
そのため、y軸に平行な直線に関して図形的に対称な部分の定積分は等しくなります。

まとめ

本設問は、2次関数の対称性と定積分の性質を関連付けている設問です。
定積分について、計算により求めたほうがよい事項と、
図形的に見たほうがよい事項について慣れておきましょう。
本設問は図形的に考えたほうがよい場合の設問かと思われます。

参考になった数0

y=f(x)を展開すると

y=3(x-1)(x-m)

=3(x²-(m+1)x+m)

=3(x-(m+1)/2)²-((m+1)/2)²+m)

従って、x=(m+1)/2に関して対称なグラフとなります。

該当範囲を図示すると下図の薄赤部のようになるから、対称な範囲は濃赤部となります。

従って、トにはm+pが入ります。

選択肢5. m＋p

正解です。

まとめ

整理したグラフを図示し、数式の範囲を囲ってみると対称を利用して範囲が求めることができます。

参考になった数0

y=f(x)は左右対称な二次関数です。

左辺の積分区間が[1-p,1]であることより

右辺は[m,m+p]であればOKです。

参考になった数0