共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問85 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問17)

問題文の①式の左辺 = S(1) - S(1 - p)
問題文の①式の右辺 = S(m + p) - S(m) （設問（ト）より）
これらの式の右辺は等号で結べるので、
S(1) - S(1 - p) = S(m + p) - S(m)
⇔ S(1 - p) + S(m + p) = S(1) + S(m)

「S(1) + S(m)」の選択肢が設問（ニ）の解答となります。

設問（ト）

前問（テ）で求めた直線 x = (m + 1)/2 から、
x = 1 と x = m は等しい距離の位置にあり、
f(x) のグラフが直線 x = (m + 1)/2 に関して対称な事から、
閉区間 [1 -p, 1] での定積分と閉区間 [m, m + p] での定積分は等しい値になります。

設問（テ）

(x) は2次関数で、x軸との2つの交点が問題文の因数分解により分かっています。
(1, 0) と (m, 0) の中点を通りy軸に平行な直線に関して f(x) のグラフは対称となります。
よって、求める x は x = (m + 1)/2 です。

y=f(x)を展開すると

y=3(x-1)(x-m)

=3(x²-(m+1)x+m)

=3(x-(m+1)/2)²-((m+1)/2)²+m)

従って、x=(m+1)/2に関して対称なグラフとなります。

該当範囲を図示すると下図の薄赤部のようになるから、対称な範囲は濃赤部となります。

従って、トにはm+pが入ります。

該当範囲を図示すると下図の薄青部のようになるから、対称な範囲は濃青部となります。

①をそのまま計算しますと、

S(1)-S(1-p)=S(m+p)-S(m)

変形すると、

S(1)+S(m)=S(1-p)+S(m+p)

を得ます。