共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問87 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問19)

まず、問題文の空欄を埋めて文章を整理します。
「(1 - p, S(1 - p) ), (m + p, S(m + p)) を結ぶ中点について…」
つまり、次の座標の点について考えます。
x = {(1 - p) + (m + p)}/2 = (1 + m)/2 
y = {S(1 - p) +S(m + p) }/2

前問（ヌ）および設問（ニ）の式を整理すると、
S(1 - p) + S(m + p) = S(1) + S(m)
2S(M) = S(M + q) + S(M - q)
これらの式の1式目（設問（ニ）の式）を使うと、
問われている「中点」の y 座標は次のようになります。
y = {S(1 - p) +S(m + p) }/2 = {S(1) + S(m)}/2

改めて「中点」の座標について整理すると、
x = (1 + m)/2
y = {S(1) + S(m)}/2

この「中点」について正しい記述を選択肢から探すと、
まず「中点はpの値によらず一つに定まり」の部分が該当します。

次に、
1 =  {(1 + m)/2} + {(1 - m)/2} および、
m = {(1 + m)/2} - {(1 - m)/2} に注意すると、
2S(M) = S(M + q) + S(M - q) の式（前問（ヌ）の式）より、
S(1) + S(m) = S( {(1 + m)/2} + {(1 - m)/2} ) + S( {(1 + m)/2} - {(1 - m)/2} )

= 2S( (1 + m)/2 ) となるので、
{S(1) + S(m)}/2 = S( (1 + m)/2 ) 
 

したがって、「中点」の座標をもう一度整理すると、
x = (1 + m)/2
y = S( (1 + m)/2 )
つまり「中点」は y = S(x) 上にある事が分かります。

以上から、
「中点はpの値によらず一つに定まり、関数y＝S（x）のグラフ上にある。」の選択肢が設問（ネ）の解答となります。 
 

前問（ヌ）

前問（ニ）と同様の考え方で解きます。
問題文の②式の左辺 = -S(M) + S(M - q)
問題文の②式の右辺 = -S(M + q) + S(M) （設問（ナ）より）
これらの式の右辺は等号で結べるので、
-S(M) + S(M - q)= -S(M + q) + S(M)
⇔ 2S(M) =  S(M + q) + S(M - q)

設問（ニ）

問題文の①式の左辺 = S(1) - S(1 - p)
問題文の①式の右辺 = S(m + p) - S(m) （設問（ト）より）
これらの式の右辺は等号で結べるので、
S(1) - S(1 - p) = S(m + p) - S(m)
⇔ S(1 - p) + S(m + p) = S(1) + S(m)

設問（ナ）

問題文より、M =  (m + 1)/2 であり、
直線 x = M に関して f(x) のグラフは対称です。
前問（ト）と同じ考察により、
閉区間 [M-q, M] での定積分と、閉区間 [M, M + q] での定積分は等しい値になります。

設問（ト）

前問（テ）で求めた直線 x = (m + 1)/2 から、
x = 1 と x = m は等しい距離の位置にあり、
f(x) のグラフが直線 x = (m + 1)/2 に関して対称な事から、
閉区間 [1 -p, 1] での定積分と閉区間 [m, m + p] での定積分は等しい値になります。

設問（テ）

(x) は2次関数で、x軸との2つの交点が問題文の因数分解により分かっています。
(1, 0) と (m, 0) の中点を通りy軸に平行な直線に関して f(x) のグラフは対称となります。
よって、求める x は x = (m + 1)/2 です。

y=f(x)を展開すると

y=3(x-1)(x-m)

=3(x²-(m+1)x+m)

=3(x-(m+1)/2)²-((m+1)/2)²+m)

従って、x=(m+1)/2に関して対称なグラフとなります。

該当範囲を図示すると下図の薄赤部のようになるから、対称な範囲は濃赤部となります。

従って、トにはm+pが入ります。

該当範囲を図示すると下図の薄青部のようになるから、対称な範囲は濃青部となります。

従って、中点はpの値によらず一つに定まり、関数y＝S（x）のグラフ上にあることが分かります。

まず下の方程式を用意します。

S(1)+S(m)=S(1-p)+S(m+p)

2S(M)=S(M-q)+S(M+q)

さらに条件からq=M-1とします。

さて、中点を求めていきましょう。

(S(1-p)+S(m+p))/2=(S(1)+S(m))/2

=(S(1)+S(2M-1))/2

=(S(M-q)+S(M+q))/2

=S(M)

(1-p+m+p)/2=(1+m)/2=M

よって中点は(M,S(M))とわかります。

答えは、中点はpの値によって決まらず、

y=S(x)上にあると言えます。