共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問89 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問2)

まず、正規分布を記号で書く時は「平均」と「分散」によってどのような正規分布であるかを記す事になっているので、それを覚えておく必要があります。（標準偏差ではなく「分散」を使います。注意しましょう。）

次に、無作為に抽出された標本の相加平均である「標本平均」の分散がどのようになるかを公式として知っておく必要があります。
確率変数としての標本が X₁, X₂, X₃, …, X_n であるとき、「標本の大きさ」は n であるという表現を使います。
「標本平均」は、(X₁ + X₂ + X₃ + … + X_n)/n と定義されます。
少しややこしいですが、この「標本平均」の分散がどのような値になるかを表す公式があります。
結果の式は、母集団の分散が σ² であるとき、
「標本平均の分散」＝σ²/ nです。

本設問では標本平均を正規分布に近似するので、
正規分布の分散の部分（本設問（イ）の空欄）に σ²/ n を当てはめます。

分散の記号は、一般的に V(X) のような形で表します。
参考までに「標本平均の分散」＝σ²/n の公式の導出方法を記すと、
V(X₁) = V(X₂) = V(X₃) = … = V(X_n) = σ² に注意して、
確率変数が互いに独立の時に成立する V(X₁ +X₂) = V(X₁) + V(X₂) の公式と、
定数 a に対して成立する V(aX) = a²V(X) の公式を使います。
V[(X₁ + X₂ + X₃ + … + X_n)/n] = V(X₁/n) + V(X₂/n) + … + V(X_n/n)
= V(X₁)/(n²) + V(X₂)/(n²) + … + V(X_n)/(n²)
= n・(σ²)/(n²) = σ²/n
公式の導出は参考までに見ておき、
問題を多く解く事で公式に慣れ、公式の結果を覚えましょう。

正規分布の定義を覚えておくと便利です。