共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問92 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問5)

問題文では、
「晴れの場合」を確率変数 X＝ 1、
「晴れ以外の場合」を X＝ 0 としているので、
「表2」より標本平均は、
{(1・75) + 0}/300 = 75/300 = 1/4
 

次に「標本平均の標準偏差」は公式により、
σ/(√300) であり、母集団の標準偏差 σ を「標本の標準偏差」とみなす事になります。
すなわち前問（エ）の結果を使ってよい事になり、
σ =√{「標本平均」・(1 - 「標本平均」)}
=√{(1/4)・(3/4)} = (√3)/4
よって、
σ/(√300) =σ/(10√3) = 1/40

信頼区間95%は、
正規曲線が確率変数の値 0 を境に左右対称である事に注意して、
0.95/2 = 0.475 となる確率変数の値を正規分布表から探す事になります。
正規分布表より、そのようになる値は 1.96 になります。
 

次に、
正規分布 (m, 1/40) を標準正規分布 (0, 1) に変換します。 
本設問での変換は正確には近似ですが同じ形の公式が使用でき、
(「標本平均」- m)/{σ/(√300) } によって行われ、
{(1/4) - m }/{(1/40)} により行われます。
この式について、
-1.96 ≦ {(1/4) - m }/{(1/40)} ≦ 1.96 から mの範囲を求めます。

-1.96/40 ≦ 0.25 - m ≦ 1.96/40
⇔ -0.049 -0.25 ≦ -m ≦ 0.049 -0.25
⇔ 0.201 ≦ m ≦ 0.299

「0.201 ≦ m ≦ 0.299」の選択肢が設問（オ）の解答となります。
 

前問（エ）

問題文にしたがって X₁²= X₁, X₂² =X₂, …, X_n² = X_n とすると、
(X₁² + X₂² + … + X_n²)/n = (X₁ + X₂ + … + X_n)/n となり、
この式の右辺は標本平均と同じ形です。

 

前問（ウ）との結果と合わせると、
問題文の標準偏差の式の平方根の中身は次のようになります。
「標本平均」-「標本平均の2乗」
＝「標本平均」・(1 - 「標本平均」)

 

「標本平均」・(1 - 「標本平均」) の形の式が設問（エ）の解答となります。（次の形です。）

前問（ウ）

問題文の標準偏差の式の平方根の中身を計算すると次のようになります。

 

期待値mは

m=(1-p)・0+p・1=p

n=300は十分に大きいと考えられるため

正規分布N(m,σ²/n)

と表せられます。

標本平均をXと書きます。信頼度95%の信頼区間は以下になります。

X-1.96√(S²/300)≦m≦X+1.96√(S²/300)

表からそれぞれの変数を計算します。

X=1x75/300+0x225/300=0.25

S=√X(1-X)=√3/4

以上から以下を得ます。

0.25-1.96/40≦m≦0.25+1.96/40

0.201≦m≦0.299