共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問93 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問6)
問題文
（ カ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。また、ここでの晴れの定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。また、ここでの晴れの定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問93（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
（ カ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。また、ここでの晴れの定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする。
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。また、ここでの晴れの定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする。
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この過去問の解説 （3件）
01
X1, X2, X3, X4 が 1 になる確率は 問題文より p = 1/4 であり、
0になる確率は 1 - p = 3/4 です。
U4 が 1 になる場合は「表3」において2つの場合しかなく、
E(U4) = (1/4)3(3/4)・1 + (1/4)3(3/4)・1
=6/256 = 3/128
本設問では E(U4) の分子だけを答えるので、
「3」の選択肢が設問（カ）の解答となります。
U4 が 1 になる場合は「表3」において2つの場合しかなく、
その2つの場合はいずれも「晴れ」が3回、「晴れ以外」が1回なので、
確率は(1/4)3(3/4) になります。
残りの場合の U4 の値は 0 です。
確率変数の期待値の定義を考えたうえで、
U4 = 0 となる項は全て 0 になるので、
(1/4)3(3/4)・1 + (1/4)3(3/4)・1 の計算を行います。
確率変数の期待値の定義は、
確率変数の値と、確率変数がその値をとる確率の積を合計したものです。
一般的に、E(X) = x1p1 +x2p2 + x3p3 + … + xnpn の形をとります。
（期待値を「平均」と呼ぶ事もありますが、データに対する平均と混同しないようにしましょう。）
本設問では、U4 = 1 である場合は2通りのみであり、
残りの場合は U4 = 0 です。
よって本設問では、
期待値の計算は実質的には2項だけを計算すればよい事になります。
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02
期待値mは
m=(1-p)・0+p・1=p
n=300は十分に大きいと考えられるため
正規分布N(m,σ2/n)
と表せられます。
表３より、U4=1のとき、(X1,X2,X3,X4)=(1,1,1,0)(0,1,1,1)の２パターンあることが分かります。
これが各々起こる確率は
p3・(1-p)=(1/4)3・3/4=3/44
従って、U4=0のときは省略して期待値は
E(U4)=3/44・2・1=3/128
正解です。
0となる項は省略することがおすすめです。
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03
U4=1となるのは(X1,..,X4)=(1,1,1,0),(0,1,1,1)のときです。
P(Xi=1)=1/4,P(Xi=1)=3/4ですから
E[U4]=2x(1/4)3(3/4)=3/128
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