共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問94 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問7)

「表3」に X₅ を付け加えたものを考えると、
k = 4 までのときで U₄ = 1 となった場合のうち、
(1, 1, 1, 0) のものは X₅ が 0 でも 1 でも U₅ = 1 であり、
(0, 1, 1, 1) のものは X₅ が 0 のときのみ U₅ = 1 です。
また、k = 4 で U₄ = 0 であった場合のうち、
(0, 0, 1, 1) と (1, 0, 1, 1)のものは X₅ =1 のときに U₅ =1 です。
よって、U₅ = 1 となる場合は 2 +1 + 1 +1 = 5 通りです。

X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ が 1 になる確率は問題文より p = 1/4 であり、
0になる確率は 1 - p = 3/4 です。

U₅ = 1 になる項のうち、確率が (1/4)³(3/4)² となる場合は、
(1, 1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1) の 3つの場合です。
U₅ = 1 になる項のうち、確率が (1/4)⁴(3/4)¹ となる場合は、
(1, 1, 1, 0, 1),  (1, 0, 1, 1, 1) の2 つの場合です。

U₅ = 0 となる項は全て 0 になる事をふまえて、
E(U₅) = (1/4)³(3/4)²・3 + (1/4)⁴(3/4)¹・2 
=(27 + 6)/1024 = 33/1024

本設問では E(U₅) の分子だけを答えるので、
「33」の選択肢が設問（キク）の解答となります。

期待値mは

m=(1-p)・0+p・1=p

n=300は十分に大きいと考えられるため

正規分布N(m,σ²/n)

と表せられます。

表３より、U₄=1のとき、(X₁,X₂,X₃,X₄)=(1,1,1,0)(0,1,1,1)の２パターンあることが分かります。

これが各々起こる確率は

p³・(1-p)=(1/4)³・3/4=3/4⁴

従って、U₄=0のときは省略して期待値は

E(U₄)=3/4⁴・2・1=3/128

前問同様解いていくと、U₅=1のとき、(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(0,1,1,1,0)(1,1,1,0,●)(●,0,1,1,1)の３パターンあることが分かります。

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(0,1,1,1,0)の起こる確率は

(1-p)・p³・(1-p)=3/4・(1/4)³・3/4=9/4⁵

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(1,1,1,0,●)の起こる確率は

p³・(1-p)・1=(1/4)³・3/4・1=3/4⁴

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(●,0,1,1,1)の起こる確率は上記と等しいです。

従って、U₅=1となる確率は

9/4⁵+3/4⁴×2=3・11/4⁵

従って

E(U₅)=3・11/4⁵・1=33/1024

U₅=1となるのは以下のときです。

(X₁,..,X₅)=(1,1,1,0,0),(0,1,1,1,0),(0,0,1,1,1),(1,1,1,0,1),(1,0,1,1,1)

P(X_i=1)=1/4,P(X_i=0)=3/4

ですから

E[U₅]=3x(1/4)³(3/4)²+2x(1/4)⁴(3/4)=33/1024