共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問8)

問題文に記述されている「直線」の傾きは、
前問（キク）および設問（カ）より、
{E(U₅) - E(U₄)}/(5 - 4) = (33/1024 - 3/128)/1
=(33 -24)/1024 = 9/1024

また、その直線は (4, E(U₄)) を通るので、
y - E(U₄) = (x - 4)・(9/1024)
設問（カ）より E(U₄) = 3/128 なので、
y = (9x)/1024 + (24 - 36)/1024
⇔ y = (9x)/1024 - 12/1024

問題文より、その直線は (300, E(U₃₀₀)) も通るので、

x = 300 を代入すると、
y = (2700 - 12)/1024
= 2688/1024
= 672/256
= 168/64
= 21/8

この y の値が E(U₃₀₀)) に該当するので、
E(U₃₀₀) = 21/8
 

「21/8」の選択肢が設問（ケコサ）の解答となります。
 

前問（キク）

「表3」に X₅ を付け加えたものを考えると、
k = 4 までのときで U₄ = 1 となった場合のうち、
(1, 1, 1, 0) のものは X₅ が 0 でも 1 でも U₅ = 1 であり、
(0, 1, 1, 1) のものは X₅ が 0 のときのみ U₅ = 1 です。
また、k = 4 で U₄ = 0 であった場合のうち、
(0, 0, 1, 1) と (1, 0, 1, 1)のものは X₅ =1 のときに U₅ =1 です。
よって、U₅ = 1 となる場合は 2 +1 + 1 +1 = 5 通りです。

 

X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ が 1 になる確率は問題文より p = 1/4 であり、
0になる確率は 1 - p = 3/4 です。

 

U₅ = 1 になる項のうち、確率が (1/4)³(3/4)² となる場合は、
(1, 1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1) の 3つの場合です。
U₅ = 1 になる項のうち、確率が (1/4)⁴(3/4)¹ となる場合は、
(1, 1, 1, 0, 1),  (1, 0, 1, 1, 1) の2 つの場合です。

 

U₅ = 0 となる項は全て 0 になる事をふまえて、
E(U₅) = (1/4)³(3/4)²・3 + (1/4)⁴(3/4)¹・2 
=(27 + 6)/1024 = 33/1024

設問（カ）

X₁, X₂, X₃, X₄ が 1 になる確率は 問題文より p = 1/4 であり、
0になる確率は 1 - p = 3/4 です。

U₄ が 1 になる場合は「表3」において2つの場合しかなく、 
E(U₄) = (1/4)³(3/4)・1 + (1/4)³(3/4)・1
=6/256 = 3/128

期待値mは

m=(1-p)・0+p・1=p

n=300は十分に大きいと考えられるため

正規分布N(m,σ²/n)

と表せられます。

表３より、U₄=1のとき、(X₁,X₂,X₃,X₄)=(1,1,1,0)(0,1,1,1)の２パターンあることが分かります。

これが各々起こる確率は

p³・(1-p)=(1/4)³・3/4=3/4⁴

従って、U₄=0のときは省略して期待値は

E(U₄)=3/4⁴・2・1=3/128

前問同様解いていくと、U₅=1のとき、(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(0,1,1,1,0)(1,1,1,0,●)(●,0,1,1,1)の３パターンあることが分かります。

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(0,1,1,1,0)の起こる確率は

(1-p)・p³・(1-p)=3/4・(1/4)³・3/4=9/4⁵

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(1,1,1,0,●)の起こる確率は

p³・(1-p)・1=(1/4)³・3/4・1=3/4⁴

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(●,0,1,1,1)の起こる確率は上記と等しいです。

従って、U₅=1となる確率は

9/4⁵+3/4⁴×2=3・11/4⁵

従って

E(U₅)=3・11/4⁵・1=33/1024

題意より(4,3/128)、(5,33/1024)を通る直線なので、1次関数を算出すると

y-3/128=(33/1024-3/128)/(5-4)(x-4) 傾き

これを計算すると

y=(9/1024)x-3/256

従ってx=300のとき

y=(9/1024)・300-3/256=21/8

いま(4,3/128),(5,33/1024)を通ることがわかっています。

直線の式をy=ax+bとすると

3/128=4a+b

33/1024=5a+b

であるから

a=9/1024

b=-3/256

E[U₃₀₀]=300x9/1024-3/256=21/8