大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問8)

期待値mは

m=(1-p)・0+p・1=p

n=300は十分に大きいと考えられるため

正規分布N(m,σ²/n)

と表せられます。

表３より、U₄=1のとき、(X₁,X₂,X₃,X₄)=(1,1,1,0)(0,1,1,1)の２パターンあることが分かります。

これが各々起こる確率は

p³・(1-p)=(1/4)³・3/4=3/4⁴

従って、U₄=0のときは省略して期待値は

E(U₄)=3/4⁴・2・1=3/128

前問同様解いていくと、U₅=1のとき、(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(0,1,1,1,0)(1,1,1,0,●)(●,0,1,1,1)の３パターンあることが分かります。

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(0,1,1,1,0)の起こる確率は

(1-p)・p³・(1-p)=3/4・(1/4)³・3/4=9/4⁵

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(1,1,1,0,●)の起こる確率は

p³・(1-p)・1=(1/4)³・3/4・1=3/4⁴

(X₁,X₂,X₃,X₄,X₅)=(●,0,1,1,1)の起こる確率は上記と等しいです。

従って、U₅=1となる確率は

9/4⁵+3/4⁴×2=3・11/4⁵

従って

E(U₅)=3・11/4⁵・1=33/1024

題意より(4,3/128)、(5,33/1024)を通る直線なので、1次関数を算出すると

y-3/128=(33/1024-3/128)/(5-4)(x-4) 傾き

これを計算すると

y=(9/1024)x-3/256

従ってx=300のとき

y=(9/1024)・300-3/256=21/8

いま(4,3/128),(5,33/1024)を通ることがわかっています。

直線の式をy=ax+bとすると

3/128=4a+b

33/1024=5a+b

であるから

a=9/1024

b=-3/256

E[U₃₀₀]=300x9/1024-3/256=21/8