共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問98 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3)
問題文
（1）数列｛an｝が
an＋1−an＝14（n＝1，2，3，…）を満たすとする。
a1＝10のとき、a2＝（ アイ ）、a3＝（ ウエ ）である。
数列｛an｝の一般項は、初項a1を用いて
an＝a1＋（ オカ ） （n−1）
と表すことができる。
（ オカ ）にあてはまるものを1つ選べ。
an＋1−an＝14（n＝1，2，3，…）を満たすとする。
a1＝10のとき、a2＝（ アイ ）、a3＝（ ウエ ）である。
数列｛an｝の一般項は、初項a1を用いて
an＝a1＋（ オカ ） （n−1）
と表すことができる。
（ オカ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問98（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
（1）数列｛an｝が
an＋1−an＝14（n＝1，2，3，…）を満たすとする。
a1＝10のとき、a2＝（ アイ ）、a3＝（ ウエ ）である。
数列｛an｝の一般項は、初項a1を用いて
an＝a1＋（ オカ ） （n−1）
と表すことができる。
（ オカ ）にあてはまるものを1つ選べ。
an＋1−an＝14（n＝1，2，3，…）を満たすとする。
a1＝10のとき、a2＝（ アイ ）、a3＝（ ウエ ）である。
数列｛an｝の一般項は、初項a1を用いて
an＝a1＋（ オカ ） （n−1）
と表すことができる。
（ オカ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
a1 = 10, a2 = 14 + a1 =24, a3 = 14 + a2 = 38 から、
an = 14(n - 1) +10 であると推測できます。
n = 1 のときには確かに成立します。
n = k のときに、
ak = 14(k - 1) +10 を仮定します。
n = k +1 のとき、
問題文の漸化式により ak+1 - ak = 14 であるので、
ak+1 = 14(k - 1) +24 = 14k + 10 であり、
n = k + 1 のときも確かに成立します。
よって、
an = 14(n - 1) +10 = a1 +14(n -1)
「14」の選択肢が設問（ウエ）の解答となります。
階差数列の一般項の求め方によっても同じ結果が得られます。
an - an-1 = 14
an-1 - an-2 = 14
an-2 - an-3 = 14
…
a3 - a2 =14
a2 - a1 = 14
これらの式の両辺を全て足すと、
an - a1 = 14(n -1)
⇔ an = a1 + 14(n-1)
上記では数学的帰納法による計算と、
階差数列の一般項を求める公式による計算の両方を記しました。
前者の方法の場合、記述式の問題ではないので解答を推測して確信した時点で、数学的帰納法による計算はチェック用に考えて手早く計算してもよいと思われます。
後者の公式を使う場合も、公式を暗記しておいて結果を手早く得る事も可能です。
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02
題意よりn=1のとき
a2=14+a1=24
n=2のとき
a3=14+a2=38
題意より、a1＝10、公差14の等差数列なので
an=10+14(n-1)
正解です。
漸化式のパターン解法は復習しておくことが大切です。
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