共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問99 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問4)
問題文
（2）数列｛bn｝が
2bn＋1−bn＋3＝0 （n＝1，2，3，…）を満たすとする。
数列｛bn｝の一般項は、初項b1を用いて
bn＝（b1＋［ キ ］）（［ ク ］／［ ケ ］）n−1−（ コ ）
と表すことができる。
（ キ ）、（ ク ）／（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問99（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
（2）数列｛bn｝が
2bn＋1−bn＋3＝0 （n＝1，2，3，…）を満たすとする。
数列｛bn｝の一般項は、初項b1を用いて
bn＝（b1＋［ キ ］）（［ ク ］／［ ケ ］）n−1−（ コ ）
と表すことができる。
（ キ ）、（ ク ）／（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- キ：2 クケ：1／2 コ：1
- キ：3 クケ：1／2 コ：3
- キ：4 クケ：1／3 コ：2
- キ：4 クケ：1／3 コ：3
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この過去問の解説 （3件）
01
設問の空欄をヒントにすると、等比数列が関わっている事が推測されます。
そこで、
問題文の漸化式を 2(bn+1 + x) - (bn + x) = 0 とおきます。
2(bn+1 + x) - (bn + x) = 2bn+1 -bn + x = 0
2bn+1 -bn + 3 = 0 と比較すると、x = 3 です。
よって、問題文の漸化式は、
2(bn+1 + 3) - (bn + 3) = 0
⇔ bn+1 + 3 = (1/2)(bn + 3) と変形する事ができ、
bn + 3 を新しい数列とみなすとそれは等比数列になります。
したがって、
bn +3 = (b1 + 3)(1/2)n-1
⇔ bn = (b1 + 3)(1/2)n-1 -3
設問の空欄に数値を当てはめると、
キ：3 クケ：1/2 コ：3 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
本設問の数列は、階差数列ではありません。
よって、階差数列の公式は使えない事になります。
また、漸化式から b2, b3 を計算してみると複雑な式になるので、数学的帰納法も適していないと推測できます。
他方、設問の空欄の形を見ると、形は等比数列に非常に似ています。
そこで上記解説では漸化式を 2(bn+1 + x) - (bn + x) = 0 の形にできないかどうかを考えて、
計算の結果、可能である事が分かったので bn + 3 を改めて1つの数列と考えて漸化式を整理し、
一般項として等比数列の形を導出しています。
最後に、 bn= … の形にする事で設問の空欄 -(コ) の部分が -3 である事が分かります。
どのように計算すべきか迷う設問かもしれません。
そのようなときは、本設問のように漸化式を変形して、
何か新しい数列の漸化式にできないかを考えるとうまく計算を進められる場合があります。
上記解説では bn + 3 を新しい数列とみなしました。
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02
漸化式を解いていきます。
正解です。
漸化式のパターン解法は復習しておくことが大切です。
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03
(bn+1-a)=C(bn-a)とおくと
bn+1-Cbn+(C-1)a=0
です。いま2bn+1-bn+3=0ですから変形すると
bn+1-bn/2+3/2=0
ですからC=1/2,a=-3
よって
(bn+1+3)=(bn+3)/2
数列(bn+3)は初項b1+3,項比1/2の等比数列とわかります。
一般項は
bn+3=(b1+3)/2n-1
より
bn=(b1+3)/2n-1-3
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