共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問101 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問6)
問題文
（3）太郎さんは
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ シス ）、（ セソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ シス ）、（ セソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）本試験 問101（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
（3）太郎さんは
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ シス ）、（ セソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（cn＋3）（2cn＋1−cn＋3）＝0 （n＝1，2，3，…） ・・・・・①
を満たす数列｛cn｝について調べることにした。
（ⅰ）
・数列｛cn｝が①を満たし、c1＝5のとき、c2＝（ サ ）である。
・数列｛cn｝が①を満たし、c3＝−3のとき、c2＝（ シス ）、c1＝（ セソ ）である。
（ シス ）、（ セソ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- シス：−1 セソ：−2
- シス：−2 セソ：−3
- シス：−3 セソ：−3
- シス：−3 セソ：−4
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この過去問の解説 （3件）
01
漸化式①は、
cn + 3 = 0 または 2cn+1 - cn + 3 = 0 と解釈できます。
問題文にしたがうと c3 + 3 = -3 + 3 = 0 となり①を満たしますが、
その式からは c2 が分かりません。
そこで 2cn+1 - cn + 3 = 0 の式を使います。
2・(-3) - c2 + 3 = 0 とすると、
-6 - c2 +3 = 0
⇔ c2 = -3 となり、
c2 - 3 = 0 かつ 2c3 - c2 + 3 = 0 となります。
次に c1を計算するために 2・(-3) - c1 + 3 = 0 を考え、
c1 = -3 となり、
c1 - 3 = 0 かつ 2c2 - c1 + 3 = 0 となります。
シス：-3 セソ：-3 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
cn + 3 = 0 または 2cn+1 - cn + 3 = 0 の漸化式により、
c3 = -3 という条件だけからは、
c2 は「-3 または何か別の値」という、2通りの値が得られる可能性があります。
しかし実際に計算してみると、
2cn+1 - cn + 3 = 0 の式を使っても c2 = -3 が得られ、
c2 は1通りの値となる事が分かります。
c1 の同様の計算で得られますが、c3 = c2 = -3 という結果が得られたので、
漸化式の構造から考えて、計算をする事なく c1 も1通りの値 -3 となるという判定もできます。
記述式の設問ではないため、
cn + 3 = 0 の式だけからは c2, c1 が得られないと判定し、
2cn+1 - cn + 3 = 0 の式だけを最初から考えても可であると言えます。
結果的には、そこから得られる c2, c1 はいずれも cn +3 = 0 の式も満たします。
また、あくまで推測として使うべきですが、
選択肢の記述から c2, c1 の値が1通りしかない事から、
「おそらく c3 = c2 = c1 = -3 であるはず」と最初に予測する事もできます。
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02
c1＝5のとき
（5＋3）（2c2−5＋3）＝0
↔2c2−5＋3＝0
↔c2＝1
c3＝−3のとき
（c2＋3）（2c3−c2＋3）＝0
↔（c2＋3）（-c2-3）=0
↔（c2＋3）2=0
↔c2＝−3
c2＝−3のとき
同様の計算を行うためc1＝−3
正解です。
同様に代入して計算していきます。
参考になった数0
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03
C3=-3のとき
(C2+3)(2(-3)-C2+3)=0
計算するとC2=-3
同様にC1=-3
参考になった数0
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