共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問2 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問2)

問題文の②式に前問（ア）の結果の y = 7x を代入すると、
-4(√3)x +7x = 1
⇔ x(7 - 4√3) =1
⇔ x = 1/{(7 - 4√3) } =(7 + 4√3)/{(7 - 4√3)(7 + 4√3)}
= (7 + 4√3)/(49 - 48) = 7 +4√3

本設問は（イ）+（ウ）√3 の形で答えるので、
イ：7　ウ：4　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（ア）

問題文にしたがって①式の左辺から右辺を引くと、
50x² + 50y² - x² - 49y² -14xy =0
⇔ 49x² +y² -14xy = 0
⇔ (7x - y)² = 0
よって、
y = 7x

①かつ②を満たすx,yを求める問題です。

まず前問より①を満たすx,yはy=7xを満たすことがわかっています。

あとはこれを②に代入すればokです。

-4√3x+7x=1

x=1/(7-4√3)=(7+4√3)/(7-4√3)(7+4√3)=7+4√3

解答　イ：7、ウ：4

解説

この問題の目的は「①かつ②」を満たす実数x、yを求めることです。

問題文中の誘導にしたがうと、①は「y=7x」と同値であることがわかります。

つまり、ここでは「y=7xかつ②」を満たすようなx、yを求めることになります。

先にxを求めたいので、yを消去することを考えます。

「y=7x」を②つまり「−4√3x＋y＝1」に代入すると、

−4√3x＋7x＝1

7x−4√3x＝1

(7-4√3)x=1

x=1/(7-4√3)  　　　(表記に関する注意：A/Bは「B分のA」を意味します)

分母を有理化して

x=(7+4√3)/((7-4√3)(7+4√3))=(7+4√3)/(49-48)=7+4√3

よって「イ：7、ウ：4」が答えとなります。

備考：yも求めてまとめておくと、「x=7+4√3、y=7(7+4√3)」となります。