共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問3 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問3)

前問（イ）（ウ）および設問（ア）より、
x = 7 +4√3
y = 7(7 +4√3)
x² = 49 + 48 +56√3 = 97 +56√3

①式の右辺は、
(x +7y)² = {7 +(4√3) +49(7 +4√3)}² 
= {50(7 + 4√3)}²
よって、
50(x² + y²) = {50(7 + 4√3)}²
⇔ x² + y² = 50(7 + 4√3)²
⇔ x² + y² - 50  = 50{(7 + 4√3)² -1}
右辺 = 50(x² -1)= 50(96 +56√3)
=400(12 +7√3)

したがって、
x² + y² - 50  = 400(12 +7√3)

本設問では得られた式の右辺について400([エオ]+[カ]√3)の形で答えるので、
エオ：12　カ：7　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（イ）（ウ）

問題文の②式に前問（ア）の結果の y = 7x を代入すると、
-4(√3)x +7x = 1
⇔ x(7 - 4√3) =1
⇔ x = 1/{(7 - 4√3) } =(7 + 4√3)/{(7 - 4√3)(7 + 4√3)}
= (7 + 4√3)/(49 - 48) = 7 +4√3

設問（ア）

問題文にしたがって①式の左辺から右辺を引くと、
50x² + 50y² - x² - 49y² -14xy =0
⇔ 49x² +y² -14xy = 0
⇔ (7x - y)² = 0
よって、
y = 7x

①かつ②を満たすx,yを求める問題です。

まず前問より①を満たすx,yはy=7xを満たすことがわかっています。

さらにx=7+4√3もわかっています。

よってy=7(7+4√3)

あとはx²+y²-50を計算します。

x²+y²-50=7+4√3²+(7(7+4√3))²-50

=(1+49)(7+4√3)²-50

=50((7+4√3)²-1)

=50((7+4√3)-1)((7+4√3)+1)

=400(3+2√3)(2+√3)

=400(12+7√3)

解答　エオ：12　　カ：7

解説

直前の問題でx、yを求めました。

「x=7+4√3、y=7(7+4√3)」となります。

これをx²+y²-50に代入すれば求めることができます。

しかし、そのままだと計算が大変なので、

前問で求めた「y=7x」を使って、

「yを消去してからxの値を代入する」という工夫をします。

x²+y²-50

=x²+(7x)²-50

=50x²-50

=50(x²-1)

=50(x+1)(x-1)

=50(7+4√3+1)(7+4√3-1)　　　(ここでxを代入)

=50(8+4√3)(6+4√3)

=50×4(2+√3)×2(3+2√3)

=400(2+√3)(3+2√3)

=400(6+4√3+3√3+6)

=400(12+7√3)

よって「エオ：12、カ：7」が答えとなります。