共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問8 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問8)
問題文
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問8（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ テ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
- 120°
- 135°
- 150°
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この過去問の解説 （2件）
01
（※問題文同様に、辺BC の長さを BC と記載します。）
正弦定理より、
BC/(sin∠BAC) =「△ABC の外接円の直径」なので、
4/(sin∠BAC) = (２・4√3)/3
⇔ sin∠BAC = 12/(8√3) = 3/(2√3) = (√3)/2
よって、∠BAC = 60° または 120°
本設問は2つの角度のうち「小さい」ほうを答えるので、
「60°」の選択肢が設問（テ）の解答となります。
正弦（sinθ）は定義により鈍角に対しても値を持ちます。
sinθ = sin(180° - θ) です。
よって、正弦定理からsin∠BAC = (√3)/2 が得られた時点で、
問題文にもあるように 2 つの角度があり、
図形的にも鋭角と鈍角の場合を考えてよい事になります。
外接円の直径に対する正弦定理を使います。
外接円の直径が 2R のとき、三角形ABC に対して次式が成立します。
BC/(sin∠BAC) = AC/(sin∠ABC) = AB/(sin∠ACB) = 2R
円周角の定理によって証明できます。
sin 60° = (√3)/2 です。覚えておきましょう。
もし正弦と余弦の値を混同してしまった場合は、正三角形を半分に分割して値を確認するとよいでしょう。
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02
解答 テ：60° (小さい方を解答)
解説
正弦定理を用いる問題です。
ΔABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より
BC/(sin ∠BAC) = 2R
つまり
sin ∠BAC = BC/2R
であり、これにBC=4とR=4√3／3を代入して
sin ∠BAC = 4/(8√3/3) = 12/(8√3) = 12√3/24 = √3/2
sin ∠BAC = √3/2 となるのは ∠BAC = 60°、120°
この問題では小さい方を答えるので、答えは「テ：60°」です。
図は以下のようになります(厳密な図ではありません)。
4√3/3はおよそ2.3であることを考慮して丁寧に図を書くと、
図の見た目から60°と120°が答えになりそうであると
見当をつけることができます。
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