共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問9 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9)
問題文
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ト ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ト ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問9（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ト ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ト ）にあてはまるものを1つ選べ。
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
- 120°
- 135°
- 150°
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この過去問の解説 （2件）
01
（※問題文同様に、辺BC の長さを BC と記載します。）
前問（テ）より、
∠BAC = 60° または 120° が得られています。
このうち 60° は前問（テ）の解答です。
本設問は角度が「大きい」ほうを答えるので、
「120°」の選択肢が設問（ト）の解答となります。
前問（テ）
∠BAC = 120°は、図形的には辺BC を弦BC として考えたときに、
∠BAC = 60° となる場合の反対側の弧上に点Aがある場合を表しています。
正弦定理により得られた正弦から2つの角度を求めて、
鈍角のほうを答える設問です。
∠BAC = 60° または 120° が図形的に2つあり得る事は、
正弦の定義に合致する他に、
「円に内接する四角形の対角の和が180°になる事」とも整合しています。
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02
解答 ト：120° (大きい方を解答)
解説
正弦定理を用いる問題です。
ΔABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より
BC/(sin ∠BAC) = 2R
つまり
sin ∠BAC = BC/2R
であり、これにBC=4とR=4√3／3を代入して
sin ∠BAC = 4/(8√3/3) = 12/(8√3) = 12√3/24 = √3/2
sin ∠BAC = √3/2 となるのは ∠BAC = 60°、120°
この問題では大きい方を答えるので、答えは「ト：120°」です。
図は以下のようになります(厳密な図ではありません)。
4√3/3はおよそ2.3であることを考慮して丁寧に図を書くと、
図の見た目から60°と120°が答えになりそうであると
見当をつけることができます。
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