共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10)
問題文
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ナ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ナ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問10（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ナ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ナ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
（※問題文同様に、辺BC の長さを BC と記載します。）
辺ABを三角形ABCの底辺として考えたときに、
高さは AC∠sinBAC となります。
問題文より三角形ABCの面積が (3√3)/4 なので、
AB・(AC∠sinBAC)/2 = (3√3)/4
⇔ AB・AC = (3√3) /(2∠sinBAC)
設問（テ）より ∠sinBAC = (√３)/2 なので,
AB・AC = 3
「3」の選択肢が設問（ナ）の解答となります。
設問（テ）
「辺の長さの積」というと、方べきの定理などが思い浮かぶかもしれませんが、
本設問ではもっと単純に「三角形の面積 = 底辺・高さ/2」の公式を使う事になります。
「直角三角形の高さ」/「斜辺の長さ」が正弦(sinθ)の図形的な定義であり、
そこから逆算して、
「斜辺の長さ」に正弦を掛ける事で「三角形の高さ」を求められます。
もちろん、「高さ」や「斜辺」はどこを「底辺」にして考えるかで異なります。
まずどこの辺を底辺として考えるかを定める必要があります。
上記解説ではABを底辺と考えました。
ACを底辺として考えた場合は「高さ」が異なる値になりますが、
同じ正弦が使われて、三角形の面積は等しいのでAB・AC の値は同じになります。
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02
解答 ナ：3
解説
三角比を用いた三角形の面積公式を扱う問題です。
三角形ABCの面積をSとすると、公式より
S=(1/2)AB・AC・sin∠BAC
つまり
AB・AC=2S/(sin∠BAC)
であり、問題文よりS=3√3/4、
前問の解答よりsin∠BAC=√3/2であるから、
AB・AC
=2S/(sin∠BAC)
=(3√3／2)/(√3/2)
=(3√3／2)・(2/√3)
=3
よって答えは「ナ：3」となります。
補足
sin∠BACの求め方について、前問の解説の一部を以下に引用します。
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