共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問12 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問12)

（※問題文同様に、辺BC の長さを BC と記載します。）
(AB + AC)² = AB² + AC² + 2 AB・AC です。
前問（ニヌ）より AB² + AC² = 19
設問（ナ）より AB・AC = 3 
よって、
(AB + AC)² = AB² + AC² + 2 AB・AC
= 19 + 2・3 = 19 + 6 = 25
これが設問「ネノ」の解答です。

(AB + AC)² = 25 より、AB + AC = 5 なので、
AC = 5 - AB
これにより設問「ハ」の解答が得られます。

ネノ：25　ハ：5　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（ニヌ）

設問（テ）の解答の場合のとき、
すなわち ∠BAC = 60°のとき、
cos∠BAC = cos 60° = 1/2
問題文にしたがって余弦定理を考えると、
BC² = AB² + AC² - 2AB・AC・cos 60°
= AB² + AC² - AB・AC
問題文より BC = 4 であり、
前問（ナ）より AB・AC = 3 なので、
4² = AB² + AC² - 3
⇔ AB² + AC² = 16 + 3 = 19

前問（ナ）

辺ABを三角形ABCの底辺として考えたときに、
高さは AC∠sinBAC となります。
問題文より三角形ABCの面積が (3√3)/4 なので、
AB・(AC∠sinBAC)/2 = (3√3)/4
⇔ AB・AC = (3√3) /(2∠sinBAC) 
設問（テ）より ∠sinBAC = (√３)/2 なので,
AB・AC = 3

 

設問（テ）

正弦定理より、
BC/(sin∠BAC) =「△ABC の外接円の直径」なので、
4/(sin∠BAC)  = (２・4√3)/3
⇔ sin∠BAC = 12/(8√3) = 3/(2√3) = (√3)/2
よって、∠BAC = 60° または 120°

解答　ネノ:25　ハ:5

解説

前問より、ナに当てはまるのは3、つまり「AB・AC＝3」でした。

また、ニヌに当てはまるのは19、つまり「AB²＋AC²＝19」でした。

これらを用いて計算すると、

（AB＋AC）²

=AB²+2・AB・AC+AC²

=(AB²+AC²)+2・AB・AC

=19+2・3=25　(これがネノの答え)

となり、

（AB＋AC）²=5²

という式を得ます。AB＋AC>0に注意して

AB＋AC=5

変形して

AC=5-AB　(これがハの答え)

となります。

答えをまとめると、「ネノ:25　ハ:5」となります。

補足

テ:60°　ナ:3　ニヌ:19 です。

以下はテ・ナ・ニ・ヌの解説です(前問の解説より引用)。

解答　テ：60°　(小さい方を解答)

 

解説

正弦定理を用いる問題です。

 

ΔABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より

BC/(sin ∠BAC) = 2R

つまり

sin ∠BAC = BC/2R 

であり、これにBC=4とR=4√3／3を代入して

sin ∠BAC = 4/(8√3/3) = 12/(8√3) = 12√3/24 = √3/2

 

sin ∠BAC = √3/2 となるのは ∠BAC = 60°、120°

 

この問題では小さい方を答えるので、答えは「テ：60°」です。

解答　ナ：3

 

解説

三角比を用いた三角形の面積公式を扱う問題です。

 

三角形ABCの面積をSとすると、公式より

 

S=(1/2)AB・AC・sin∠BAC

つまり

AB・AC=2S/(sin∠BAC)

 

であり、問題文よりS=3√3/4、

前問の解答よりsin∠BAC=√3/2であるから、

 

AB・AC

=2S/(sin∠BAC)

=(3√3／2)/(√3/2)

=(3√3／2)・(2/√3)

=3

 

よって答えは「ナ：3」となります。

解答　ニヌ：19

 

解説

テに当てはまるのは「60°」、ナに当てはまるのは「3」でした。

つまり、∠BAC＝60°（ひいてはcos∠BAC=1/2）、AB・AC＝3として以下考えます。

 

余弦定理より

BC²=AB²+AC²-2・AB・AC・cos∠BAC

変形して

AB²+AC²=BC²+2・AB・AC・cos∠BAC

 

これにBC=4、AB・AC=3、cos∠BAC=1/2を代入して

AB²+AC²=4²+2・3・(1/2)=16+3=19

 

よって答えは「ニヌ：19」となります。