共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13)
問題文
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ヒ ）、（ フへ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ヒ ）、（ フへ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問13（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形に関連する量と三角形の合同条件について考察する。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ヒ ）、（ フへ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（1）ΔABCにおいて、BC＝4であり、ΔABCの外接円の半径は4√3／3であるとする。このとき、∠BACの大きさについて二つの場合を考えることができ、そのうちの小さい方は（ テ ）であり、大きい方は（ ト ）である。さらに、ΔABCの面積は3√3／4であるとする。このとき、
AB・AC＝（ ナ ）である。
∠BAC＝（ テ ）のとき、余弦定理よりAB2＋AC2＝（ ニヌ ）なので
（AB＋AC）2＝（ ネノ ）である。よって、AC＝（ ハ ）—ABより
AB＝（［ ヒ ］±√［ フヘ ］）／2
である。
また、∠BAC＝（ ト ）のとき、同様に考えるとAB＝（√19±√7）／2であることがわかる。
（ ヒ ）、（ フへ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- ヒ：4 フへ：11
- ヒ：5 フへ：13
- ヒ：6 フへ：15
- ヒ：7 フへ：17
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この過去問の解説 （2件）
01
（※問題文同様に、辺BC の長さを BC と記載します。）
設問（ニヌ）より、AB2 + AC2 = 19
前問（ハ）の結果 AC = 5 - AB を代入すると次式になります。
AB2 + (5 - AB)2 = 19
⇔ 2AB2 - 10AB +6 = 0
⇔ AB2 - 5AB +3 = 0
⇔ (AB - 5/2)2 +3 - 25/4 = 0
⇔ (AB - 5/2)2 = 13/4
⇔ AB = 5/2 ±(√13)/2
⇔ AB = (5 ±√13)/2
本設問では AB = ([ヒ] ± √[フヘ])/2 の形で答えるので、
ヒ：5 フヘ：13 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
前問（ハ）
設問（ニヌ）
前問（ナ）
設問（テ）
設問の空欄の形から、2次方程式を作る事が推測されます。
また、あまりきれいな形では因数分解できない事も予想されます。
さらに、どのように2次方程式を作るかについては、問題文に直接的な記載や指示はありません。
(AB + AC)2 = 25 からではうまく計算できません。
設問をさらにさかのぼって、
設問（ニヌ）からの AB2 + AC2 = 19 の式を使うと計算を進める事ができます。
本設問は実質的には2次方程式を解く内容となっていますが、
解くべき2次方程式をまず見つけてくる段階から始まります。
前問（ハ）の結果 AC = 5 - AB を代入すると AB だけになる式を探す必要があります。
設問（ニヌ）の式を使うと AB だけの式になると推測されたので、上記解説はその式を使いました。
2次方程式の解き方については、
本設問の方程式は因数分解では容易に解けないと予想されたので、
上記解説では式変形をして解きました。
解の公式 x = {-b ±√(b2 - 4ac)}/ (2a) を覚えていれば、
公式に値を代入する方法でも解けます。
公式の導出は、
一般の2次方程式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) に対して、
上記解説のように式変形をしていく事によって可能です。
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02
解答 ヒ：5 フへ：13
解説
ナに当てはまるのは「3」、つまり「AB・AC＝3」でした。
ハに当てはまるのは「5」、つまり「AC＝5-AB」でした。
AB・AC＝3にAC＝5-ABを代入して、
AB(5-AB)=3
5AB-AB2=3
AB2-5AB+3=0
2次方程式の解の公式を用いてこれを解くと、
AB=(5±√13)/2
よって答えは「ヒ：5 フへ：13」となります。
補足
テ:60° ナ:3 ニヌ:19 ネノ:25 ハ:5です。
以下はテ・ナ・ニ・ヌ・ネ・ノ・ハの解説です(前問の解説より引用)。
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