共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問14)

（※問題文同様に、辺BC の長さを BC と記載します。）
まず（a）の場合は、下図のような反例があると予測できますが、正確にはその存在を示す必要があります。

設問（テ）～（へ）の具体例で言うと、∠BAC＝（ト）= 120°の場合に相当します。
このときの A を A' と書く事にします。
問題文より A'B＝（√19±√7)/2 なので、まず AB ≠ A'Bです。

この時点で既に大体の真偽の予想ができると思われますが、
AB ≠A'C を式で示します。
A'B・A'C は三角形の面積と正弦定理から計算できるので、
∠BA'C＝ 120° でも A'B・A'C = 3 です。
次に、余弦定理より BC² = A'B² + A'C² - 2A'B・A'C・cos 120° となるので、
A'B² + A'C² = 16 - 3 = 13 となります。
よって、(A'B + A'C)² = 13 + 6 = 19 より、A'B + A'C = √19 
ここで問題文より A'B＝（√19±√7)/2 であり、
AC = 5 - (5 ±√13)/2 で、A'C = √19 - (√19±√7)/2 となり、
AB ≠A'C が具体的に分かります。
つまり AB ≠ A'B かつ AB ≠ A'C かつ AB ≠ BC です。
この場合、三角形ABCと三角形A'BCは合同になり得ません。
1つの反例が見つかったので、(a)の命題は「偽」になります。

次に(b)の命題の真偽の検証です。
命題の条件を満たす三角形ABCと三角形A'B'C'を考え、
∠BAC＝∠B'A'C' のとき、正弦定理より BC/(sin∠BAC) = B'C' /(sin∠B'A'C')
sin∠BAC = sin∠B'A'C' より、BC = B'C'
すると、外接円の半径が等しく面積も等しい事から、
設問（テ）～（へ）と同じ手順で BC = B'C' の条件から同じ AB の値を求められます。

ただしその場合でも、AB は2次方程式の解の関係から、2つの値をとり得ました。
そのため、検証を続けます。

AB = A'B' となるときは AB + AC を定数の形にできるので AC = A'C' となり、
BC = B'C' と合わせて三角形ABCと三角形A'B'C' は合同になります。

AB ≠ A'B' となるときは、まず AB がとり得る2通りの場合とは何かを考えます。
下図のように三角形ABCを三角形A'CBに反転させた場合を考えましょう。

底辺を BC と考えたときに面積が等しい条件から「高さが等しい事」に注意して、
円との関係から点 A, A' の位置は円周上で2つしかあり得ない事が分かります。
図のように円周角の定理と平行線の錯角の関係などを利用すると、
三角形ABCと三角形A'CBは、合同な2つの三角形である事が分かります。
（AB ≠ A'B のときは AB = A'C および AC = A'B となります。）

よって、AB ≠ A'B' となるときには AB = A'C' および AC = A'B' であり、

三角形ABCと三角形A'B'C' は合同になります。

そのため、(b)の命題は真になります。

(a)：偽　(b)：真　の組み合わせの選択肢が設問（ホ）の解答となります。
 

設問（ヒ）（フヘ）

設問（ニヌ）より、AB² + AC²  = 19
前問（ハ）の結果 AC = 5 - AB を代入すると次式になります。
AB² + (5 - AB)² = 19
⇔ 2AB² - 10AB +6 = 0
⇔ AB² - 5AB +3 = 0
⇔ (AB - 5/2)² +3 - 25/4 = 0
⇔ (AB - 5/2)² = 13/4
⇔ AB = 5/2 ±(√13)/2
⇔ AB = (5 ±√13)/2

設問（ハ）

(AB + AC)² = AB² + AC² + 2 AB・AC です。
前問（ニヌ）より AB² + AC² = 19
設問（ナ）より AB・AC = 3 
よって、
(AB + AC)² = AB² + AC² + 2 AB・AC
= 19 + 2・3 = 19 + 6 = 25
これが設問「ネノ」の解答です。

 

(AB + AC)² = 25 より、AB + AC = 5 なので、
AC = 5 - AB
これにより設問「ハ」の解答が得られます。

設問（ニヌ）

設問（テ）の解答の場合のとき、
すなわち ∠BAC = 60°のとき、
cos∠BAC = cos 60° = 1/2
問題文にしたがって余弦定理を考えると、
BC² = AB² + AC² - 2AB・AC・cos 60°
= AB² + AC² - AB・AC
問題文より BC = 4 であり、
前問（ナ）より AB・AC = 3 なので、
4² = AB² + AC² - 3
⇔ AB² + AC² = 16 + 3 = 19

前問（ナ）

辺ABを三角形ABCの底辺として考えたときに、
高さは AC∠sinBAC となります。
問題文より三角形ABCの面積が (3√3)/4 なので、
AB・(AC∠sinBAC)/2 = (3√3)/4
⇔ AB・AC = (3√3) /(2∠sinBAC) 
設問（テ）より ∠sinBAC = (√３)/2 なので,
AB・AC = 3

設問（ト）

前問（テ）より、
∠BAC = 60° または 120° が得られています。
このうち 60° は前問（テ）の解答です。

 

本設問は角度が「大きい」ほうを答えるので、
「120°」の選択肢が設問（ト）の解答となります。

設問（テ）

正弦定理より、
BC/(sin∠BAC) =「△ABC の外接円の直径」なので、
4/(sin∠BAC)  = (２・4√3)/3
⇔ sin∠BAC = 12/(8√3) = 3/(2√3) = (√3)/2
よって、∠BAC = 60° または 120°

解答　（a）偽　　（b）真

解説

(a)は偽です。前問(1)の問題が反例となっています。

長さ4の辺を持ち、面積が3√3/4、外接円の半径が4√3/3となるような

三角形が2通りできることを(1)で扱っています。

(1)で考えたことを一般化してみましょう。

ΔABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より

BC/(sin ∠BAC) = 2R　つまり　sin ∠BAC = BC/2R

であり、BCとRの値を指定すると、sin ∠BACの値が定まります。

sin ∠BAC=1のときは∠BAC=90°に定まりますが、

それ以外のときは条件を満たす∠BACは2通り存在し、

面積を定めてもAB・ACの値が決まるだけで、

この2通りをどちらか一方に絞りこむことはできません。

つまり、一組の辺、面積、外接円の半径の値を指定すると、

その条件を満たすような三角形は最大で2通り作れることがわかります。

(b)は真です。

△ABCと△DEFについて、

①角A=角D

②面積はそれぞれ等しい

③外接円の半径はそれぞれ等しい

の3つが成り立っているとします。

このとき、外接円の半径をRとして、正弦定理より

2R=BC/sinA=EF/sinD

が成り立ちます。さらに①から

BC=EF　…④

となります。

④②③より、△ABCと△DEFは

「一組の辺、面積、外接円の半径がそれぞれ等しい」と言えて、

(a)で考えたように最大2通りの三角形ができます。

①の条件により、2通りできた場合は一方に絞られるため、

△ABCと△DEFは必ず合同になります。