共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問34 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8)

事象A:「2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のA」
事象E:「4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のE」とします。

求める条件付き確率は、P(A | E) = P(A∩E)/P(E) です。

まず、設問（コ）（サシ）から、P(E) = 7/ 24 です。

また、配置Aから配置Eに至る方法は2つあります。
配置Aから配置Bを経る方法と、配置Aから配置Cを経る方法です。
配置Dから配置Eに至る事はできません。（設問（ケ）の結果です。）
設問（ア）～（カ）および設問（コ）（サシ）の考察も使い、
最初の配置 → 配置A → 配置BまたはC → 配置E に至る確率 P(A∩E) は、
P(A∩E) = (1/2)・(1/2)・(1/2) + (1/2)・(1/2)・(1/3) 
= 1/8 + 1/12
= (3 + 2)/24 = 5/24

よって、
P(A | E) = P(A∩E)/P(E) = (5/24)/(7/24) =5/7

タ：5　チ：7　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（コ）（サシ）

前問（ケ）の考察からEの配置に至る事ができるのは、
BとCの配置のみです。

 

次に、3つめから4つめの「タイル」を新しく置くときの確率は、
Bに関しては隙間を作らないように 2 通りしか場合の数がなく、
新しい「タイル」を置く1つの場合の確率は 1/2 です。

Cに関しては、隙間を作らないように 3 通りの場合の数があり得て、
新しい「タイル」を置く1つの場合の確率は 1/3 です。

 

設問（ウ）～（カ）から、
最初の配置からBの配置に至る確率は 1/4 です。
設問（キ）（ク）から、
最初の配置からCの配置に至る確率は 1/2 です。

 

よって、最初の配置からEの配置に至る確率は、
(1/4)・(1/2) + (1/2)・(1/3) = 1/8 + 1/6 
= (3 + 4)/24 = 7/24 です。

設問（ケ）

「図1」におけるDの配置では左側の壁に沿うように3つの「タイル」が並べられており、
Eの配置では左側の壁に沿って2つしか「タイル」がありません。
したがって、DからEの配置にする事は不可能となります。

 

他方で、B の配置からは左下の隅の「タイル」の上側に新しい「タイル」を配置し、
Cの配置からは左下の隅の「タイル」の隣の「タイル」に新しい「タイル」を配置する事で、
Eと同じ配置にする事ができます。

 

したがって、
B, C, Dの配置のうちからEの配置にできるのは、BとCだけです。

 

「BとCだけ」の選択肢が設問（ケ）の解答となります。

設問（キ）（ク）

前問（ウ）～（カ）の考察より、
AからCの配置になる確率は 1/2 で、
「図1」でAの下側の図の配置からCの配置になる確率も 1/2 です。

最初の配置からAになる確率が 1/2 で
最初の配置からAの下側の図の配置になる確率も 1/2 である事に注意して、
最初の配置からCの配置になる確率は、
(1/2)・(1/2) + (1/2)・(1/2) = 1/4 +1/4 = 1/2 です。

設問（ウ）～（カ）

「図1」にもある通り、Bの配置に至るにはAの配置の右に新しい「タイル」を配置する場合です。

 

「ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする」という問題文の条件に注意します。

「壁の縁」との隙間があってはいけないので、
Aの配置からBの配置に新しくタイルを置く場合の数は 2 通りです。
（「ただし、…」の問題文の条件がなければ「3通り」あります。）

よって、Aから新しく「タイル」を配置するそれぞれの確率は問題文から 1/2 です。

 

前問（ア）（イ）からAの配置に至る確率が 1/2 と求まっているので、
本設問は (1/2)・(1/2) = 1/4 の確率を答える事になります。

 

ウ：1　エ：2　オ：1　カ：4　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

 

前問（ア）（イ）

最初の配置から2つめの配置になる場合の数は、
2個めの「タイル」を上に置くか右に置くかの2通りです。
1つの「配置」になる確率はその場合の数の逆数（つまり 1/n）とすると問題文に書かれているので、
Aとなる確率は 1/2 です。

解答　タ：5　チ：7

解説

以下では、

・○を経由する確率をP(○)

・△を経由したという条件のもとで☆を経由する条件付き確率をP_△(☆)

・▲を経由してかつ★を経由する確率をP(▲∩★)

と書くことにします。

また、2枚目を貼った時点でのAでない方をA'と呼ぶことにします。

この問題で求めたいのはP_E(A)です。

これを求めるにはP(A∩E)とP(E)の値が必要です。

P(A∩E)の計算にはP(A)とP_A(E)が必要です。

まず、

P(A)=1／2

と

P_A(E)

=P_A(B)P_B(E)+P_A(C)P_C(E)

=(1／2)・(1／2)+(1／2)・(1／3)

=(1／4)+(1／6)

=(3／12)+(2／12)

=5／12

より、

P(A∩E)=P(A)P_A(E)=(1／2)・(5／12)=5／24　…①

です。

また、P(A'∩E)についてもP(A∩E)と同様に考えて、

P(A')=1／2

P_A'(E)=P_A'(C)P_C(E)=(1／2)・(1／3)=1／6

P(A'∩E)=P(A')P_A'(E)=(1／2)・(1／6)=1／12　…②

①②より、P(E)=P(A∩E)+P(A'∩E)=7／24　…③

となります。

（上記の流れがP_E(A)を求めるための正攻法ですが、

今回はP(E)をすでに前問で別の手順を使って求めているので、

②を計算する必要はありません）

①③より、

P_E(A)

=P(E∩A)/P(E)　　(←条件付き確率の公式)

=P(A∩E)/P(E)

=(5／24)/(7／24)

=5／7

よって答えは「タ：5　チ：7」となります。